Demostrar igualdades utilizando funciones generadoras exponenciales

Question

Quiero mostrar $e^{ax}+e^{bx} = e^{(a+b)x} $ . Tengo que $ \sum_{n>0} \frac {(ax)^n}{n!} \sum_{n>0} \frac {(bx)^n}{n!} $ es el primer paso, pero no estoy seguro de cómo pasar de la multiplicación de las dos series de potencias exponenciales, $ \sum_{n>0} (\sum_{n>0} \binom {n}{i} a_i b_{n-i})\frac{x^n}{n!} $ a la solución final.

Answer 1

Por la serie Taylor $$ e^{ax}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{a^nx^n}{n!} \quad\text{and}\quad e^{bx}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{b^nx^n}{n!} $$ Así que $$ e^{ax}e^{ax}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{a^{n-k}}{(n-k)!}\frac{b^k}{k!}x^n=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{a^{n-k}b^k}{n!}x^n=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(a+b)^{n}}{n!}x^n=e^{(a+b)x} $$

Answer 2

Pista: El teorema del binomio establece que $\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i} a^i b^{n-i} = (a + b)^n$ .