¿Cómo puedo resolver $e^{iz} = 3i$ ?

Question

Estoy atascado en la pregunta que me pide que resuelva $e^{iz} = 3i$ . He vuelto a escribir $e^{iz}$ como $e^{ix-y}$ y por lo tanto como $e^{ix}\cdot e^{-y}$ y por lo tanto como $e^{-y}\cdot (\cos x + i\sin x)$ . Entonces escribí $e^{-y}\cos x = 0$ y $e^{-y}\sin x = 3$ . Sin embargo, cuando intento resolver esto, me encuentro con $x = \pi/2 + 2k\pi$ como solución para la primera expresión, pero no puedo encontrar una solución para $e^{-y}\sin x = 3$ porque no hay soluciones para $\sin x = 3$ . Luego traté de encontrar y mediante la resolución de $e^{-y}\cdot \cos(\pi/2 + 2k\pi)=0$ Sin embargo, esto me da $y = \log 0$ que no tiene soluciones. ¿Qué estoy haciendo mal? Gracias.

Answer 1

Lo estás haciendo bien: si $z=x+iy$ entonces $e^{iz}=e^{-y}(\cos x+i\sin x)$ , por lo que tiene $$\begin{cases} e^{-y}\cos x=0 \\[4px] e^{-y}\sin x=3 \end{cases}$$ De la primera ecuación se obtiene $\cos x=0$ Así que $x=\pi/2+2k\pi$ o $x=-\pi/2+2k\pi$ . Sustituyendo en la segunda ecuación, la primera da $$e^{-y}=3$$ así que $y=-\log 3$ . Este último, en cambio, da $-e^{-y}=3$ que no tiene solución.

Answer 2

Tu solución está bien, hasta que llegas a la parte de $e^{-y}\sin x = 3$ . Como ya sabe que $x=\pi/2 + 2k\pi$ Entonces, usted sabe que $\sin x=1$ Así que sólo tienes que resolver $e^{-y}=3$ .

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Si yo estuviera haciendo este problema, probablemente me saltaría todo el $x,y$ cosas, y empezar escribiendo $3i$ en forma polar, y luego reescribiendo el módulo como una exponencial: $$3i=3e^{i(\pi/2+2k\pi)}=e^{\ln 3}e^{i(\pi/2+2k\pi)}=e^{\ln 3+\pi i(\pi/2+2k\pi)}.$$ Ahora estás tratando de resolver: $$e^{iz}=e^{\ln 3+i(\pi/2+2k\pi)}.$$ Igualando los exponentes, se obtiene una ecuación sencilla. Si sólo necesitas una solución, puedes omitir el $2\pi i$ parte, es decir, el conjunto $k=0$ .

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Más brevemente aún, si se piensa en la función $e^z$ como el uso de la parte real de $z$ para determinar un módulo, y la parte imaginaria para determinar un argumento, entonces se piensa que "la parte real de $iz$ debe ser $\ln 3$ y la parte imaginaria debe ser equivalente en el círculo a $\pi/2$ ". Entonces, sólo tienes que escribir: $$iz=\ln 3 + i(\pi/2+2k\pi),$$ y luego dividir por $i$ .

Answer 3

Sugerencia $$|e^{iz}|=e^{-y}=|3i|=3$$

Answer 4

Otros han discutido su enfoque. Para evitar los problemas por completo podría tomar registros (base e) donde $\log{z}=\log{|z|}+i(\arg{z}+2k\pi)$ así $$\log(e^{iz})=\log(3i)\\ \Rightarrow iz=\log3+i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)\\ \Rightarrow z=\frac{\pi}{2}+2k\pi-i\log3$$

Answer 5

Utilice $z=x+iy$ para obtener

$$\exp(iz)=\exp(ix-y)=\exp(-y)\exp(ix)=\exp(-y)\cos(x)+i\exp(-y)\sin(x)=3i$$

Comparando la parte real y la imaginaria obtenemos dos ecuaciones simultáneas:

$$\exp(-y)\cos x = 0 \implies \cos x = 0 \text{ as }\exp(-y)\neq 0$$ $$\exp(-y)\sin x = 3.$$