¿Por qué una función debe ser biyectiva para tener una inversa bien definida?

Question

He leído algunos de los otros mensajes en el sitio, pero todavía no entiendo del todo.

Supongamos que $f : A \to B$ , para $A = \{a, b, c\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4\}$ y supongamos que definimos la función $f(x)$ para algunos $x \in A$ como:

$f(a) = 1$

$f(b) = 2$

$f(c) = 3$

Es decir, el elemento $4$ en el codominio permanece sin mapear/sin asignar a ningún elemento del codominio. Aunque la función es unívoca, no es suryectiva y, por tanto, no es biyectiva.

La inversa, si tuviéramos que redactar una, sería así:

$f(1) = a$

$f(2) = b$

$f(3) = c$

$f(4) = undefined$

Lo que no entiendo es por qué esto es un problema. ¿Por qué la función original tenía que ser sobreyectiva? Consideremos la conocida función $f : R \to R$ tal que $f(x) = \frac{1}{x}$ . Esta función, aunque es unívoca, no es en Como en mi ejemplo anterior. Sin embargo, todavía podemos encontrar una inversa:

$y = f(x) = \frac{1}{x}$

$xy = 1$

$x = \frac{1}{y}$

$y = \frac{1}{x}$

$f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$

Answer 1

Ten en cuenta tres cosas sobre el concepto matemático de una función y su inversa

1. cada función viene con un dominio y un gama .
2. debe haber un valor de función definido para cada elemento del dominio.
3. La inversa de una función $f:A \to B$ debe ser una función $f^{-1} : B \to A$ con las propiedades que $f^{-1} \circ f$ es la función de identidad en el conjunto $A$ y $f \circ f^{-1}$ es la función de identidad en el conjunto $B$ . En particular, hay que intercambiar los papeles del dominio y del rango comparando $f$ a $f^{-1}$ .

En su ejemplo de $f : \{a,b,c\} \to \{1,2,3,4\}$ en su intento de escribir una fórmula para una función inversa $f^{-1} : \{1,2,3,4\} \to \{a,b,c\}$ usted escribe $f^{-1}(4) = undefined$ . Pero "undefined" no está permitido para una función cuyo rango es el conjunto $\{a,b,c\}$ , $f^{-1}(4)$ debe ser un elemento del conjunto $\{a,b,c\}$ .

En su ejemplo de $f : R \to R$ dado por $f(x)=\frac{1}{x}$ , fíjese que $f(0)$ es indefinido, por lo que este ejemplo también viola los requisitos de una función.

Ahora bien, si en lugar de eso hubieras escrito $f : R - \{0\} \to R - \{0\}$ dado por $f(x) = \frac{1}{x}$ eso sí habría sido una biyección. Y tendría una inversa. De hecho, $f$ es su propia inversa: $f = f^{-1}$ .

Answer 2

Porque, aunque estas funciones parecer inversos de muchas maneras, en realidad no satisfacen la definición.

Veamos el primer ejemplo que das.

En primer lugar, "indefinido" no es una salida válida para una función: por definición, una función debe estar definida en todo su dominio.

Podemos evitar esto teniendo $g$ enviar $4$ a algún elemento aleatorio de $A$ - digamos, $a$ . Esto provoca dos problemas. El primer problema es que $g$ ya no es único: tenemos tres opciones diferentes para $g$ ya que tenemos tres opciones diferentes de dónde $4$ va.

Otro problema, estrechamente relacionado, se ve al observar la definición de la función inversa:

$g: B\rightarrow A$ es la inversa de $f: A\rightarrow B$ si (i) para todo $x\in A$ tenemos $(g\circ f)(x)=x$ y (ii) para todos los $y\in B$ tenemos $(f\circ g)(y)=y$ . O, utilizando una notación algo diferente, (i) $g\circ f=id_X$ y (ii) $f\circ g=id_Y$ .

Es esta segunda cláusula la que supone un problema si $f$ no es sobreyectiva: no importa dónde $g$ envía $4$ No tenemos $(f\circ g)(4)=4$ (por ejemplo, si $g(4)=a$ entonces $(f\circ g)(4)=1$ ).

Ahora, también hay a la izquierda y a la derecha inversos. En el ejemplo que das, sí tenemos $g\circ f=id_X$ Esto significa que $g$ es un inverso de la izquierda de $f$ y $f$ es un inverso derecho de $g$ . Pero esto es muy diferente de una inversión real. Además, no es único: una función puede tener muchos inversos a la izquierda o a la derecha.

Dicho esto, para las aplicaciones es a menudo cierto que un inverso unilateral es suficiente, y no necesitamos un inverso genuino; un escenario en el que esto surge mucho es trigonometría donde es útil considerar las inversas unilaterales de las funciones trigonométricas (arctan, arcsin, arccos, ...) que no tienen inversas genuinas.

Answer 3

Básicamente, es una cuestión de cómo se define "inverso" en el contexto de las funciones. Una función inyectiva es invertible, pero el dominio de su inversa no será el codominio de la función original. Siempre que te des cuenta de ello, puedes utilizar esta idea de función inversa. Si exiges que la inversa esté definida en todo el codominio, entonces está claro que la función debe ser también suryectiva.

Por cierto, si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , entonces la regla $f(x) = \frac{1}{x}$ no define el valor de la función en cada punto de su dominio (concretamente en 0).

Answer 4

Una función de $A$ a $B$ se define como un subconjunto de $A\times B$ (el conjunto de pares ordenados cuyo primer elemento está en $A$ y cuyo segundo elemento está en $B$ ) que satisface las dos propiedades siguientes: en primer lugar, para todo $x\in A$ existe $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$ . En segundo lugar, si $(x,y), (x,y')\in f$ para algunos $x\in A, y,y'\in B$ entonces $y=y'$ . La primera propiedad evita que tengamos funciones con valores "indefinidos".

Su razonamiento con la función $f(x)=\frac 1 x$ es válido si consideramos $f$ sea una función de $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ a sí mismo. De lo contrario, si tratamos de considerar $0$ para formar parte del dominio de $f$ entonces $f(0)$ ni siquiera se puede definir, por lo que no se puede decir que $y=f(x)$ .

Todo lo anterior se basa en la noción estándar de una función. El concepto de función parcial existe (lo que se da al eliminar el primer requisito de una función), lo que permite que algunos puntos tengan valores "indefinidos".

Answer 5

Se puede pensar en las funciones como flechas de un conjunto $A$ a otro conjunto $B$ tal que en cada elemento de $A$ comienza exactamente una flecha. La función inversa, si existe, invierte las flechas de manera que el sentido de las flechas cambia: las flechas comienzan ahora en $B$ . Sin embargo, si $f$ no es proyectiva, entonces hay elementos en $B$ que no reciben una flecha que comienza en $A$ . Entonces, no se pueden invertir las flechas porque por definición de una función, en cada elemento de $B$ una flecha debe comenzar.

En resumen: cada elemento del dominio de una función DEBE ser asignado a un valor determinado.