Convertir los componentes de la velocidad polar en cartesiana

Question

No he podido encontrar una respuesta a la transformación de la componente de velocidad de polar a cartesiana aquí, así que espero que alguien pueda responder a esta pregunta por mí.

Me dan una posición en coordenadas cartesianas $(1,0)$ y una velocidad en forma polar ( $v_r = 0$ , $v_\theta = \pi r$ ) y busco resolver mi posición hacia adelante en el tiempo EN coordenadas cartesianas. ¿Cómo puedo convertir las componentes de la velocidad radial y rotacional en $U$ y $V$ para mantener todo en la misma forma?

Gracias.

Answer 1

$\vec v = v_r \hat r + v_\theta \hat \theta$ , donde $\hat r$ y $\hat \theta$ son el vector radial unitario y el vector de rotación unitario en $(r, \theta)$ . Dejar $\vec p = x\hat i + y \hat j$ sea el vector de posición, y observando que $x = r\cos \theta, y = r\sin \theta$ tenemos $$\vec p = r\cos \theta \hat i + r\sin \theta\hat j$$ . Ahora $\hat r$ es la dirección que $\vec p$ cambia cuando $r$ aumenta, y $\hat \theta$ es la dirección que $\vec p$ cambia entonces $\theta$ aumenta: $$\hat r = \frac{\frac{\partial\vec p}{\partial r}}{\left\|\frac{\partial\vec p}{\partial r}\right\|}\qquad\hat \theta = \frac{\frac{\partial\vec p}{\partial \theta}}{\left\|\frac{\partial\vec p}{\partial \theta}\right\|}$$

Así que $$\hat r = \cos \theta \hat i + \sin \theta\hat j\\\hat \theta = -\sin \theta \hat i + \cos \theta\hat j$$

Así, $$\begin{align}\vec v &= \pi r\hat \theta\\&=\pi(-r\sin \theta\hat i + r\cos \theta\hat j)\\&=-\pi y\hat i + \pi x \hat j\end{align}$$

Ya que no ha definido lo que $U$ y $V$ es decir, no puedo responder más que eso.