¿Cuáles son los puntos afines inducidos por una elección no estándar de una línea dada en el infinito en $RP^2$ ?

Question

Estamos trabajando en el espacio proyectivo $RP^2$ . Para un elemento general $x \in RP^2$ utilizamos la notación $x := [(x_0, x_1, x_2)].$ En $RP^2$ normalmente elegimos la línea $x_2 = 0$ para ser la "línea en el infinito". Entonces todos los puntos de $RP^2$ que no están en el infinito, satisfacen $x_2 \not = 0$ . Podemos entonces reescribir todos estos puntos en la forma $A := [(y_0, y_1, 1)]$ por la linealidad del coset. Por esta identificación podemos considerar el punto proyectivo $A$ para ser el punto $(y_0, y_1)$ en el espacio afín.

Ahora supongamos que elijo una línea diferente para que sea la línea en el infinito. Sea $l_1 \subset RP^2$ viene dada por la condición de que $x_0 + x_1 = 0$ . En este caso, estoy muy confundido sobre cómo puedo construir puntos afines y cómo podemos encontrar coordenadas para ellos.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Podemos simplemente construir una transformación proyectiva que mapee la línea $l_1 <-> x_0 + x_1 = 0$ a la línea $ l_2 <-> x_2 = 0$ Llamamos a esta transformación $\phi$ . Cuando la línea en el infinito es $l_2$ podemos definir fácilmente una biyección entre puntos proyectivos no contenidos en $l_2$ y puntos afines, llamamos a esta biyección $f$ . Ahora encontramos que la biyección $f \circ \phi$ que dará coordenadas afines a cada punto proyectivo en $RP^2$ que no está contenida en $l_1$ .