Modularidad de las series de Ramanujan-Sato

Question

Le site Serie de Ramanujan-Sato $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ del nivel 1 generaliza la fórmula de Ramanujan para $\frac1\pi$ , donde $q=e^{2\pi i\tau}$ . Aquí, $j$ es el Klein $j$ -invariante y $E_k$ son las series de Eisenstein. Debido a las raíces cuadradas, no parece ser inmediatamente una función modular para un subgrupo de congruencia de $SL(2,\mathbb Z)$ . Sin embargo, en lo que se refiere a la Klein $j$ -invariante por $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ parece satisfacer una ecuación polinómica modular en $j$ de grado $2$ , lo que sugiere que $j^*$ es modular para un subgrupo de índice 2 de $SL(2,\mathbb Z)$ . ¿Es esto cierto? ¿Y cuál sería el grupo de invariancia?

Cualquier recomendación sobre la literatura sería de gran ayuda, ¡muchas gracias!

Answer 1

Es $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ Así que estamos viendo la modularidad de $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$

$j(\tau)-1728$ es holomorfa no nula en $e^{2i\pi /3}$ mientras que $j(\tau)$ tiene un cero de orden $3$ (no $6$ !!!) en $e^{2i\pi /3}$ Por lo tanto $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ y por lo tanto $j^*(\tau)$ tienen un punto de ramificación en $e^{2i\pi/3}$ No son modulares.

Sin embargo, son automórficos en una doble cobertura de la curva modular.

Tenga en cuenta que $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ es holomorfa porque los únicos ceros de $j(\tau)-1728$ son dobles en $SL_2(\Bbb{Z})i$ . Es $2$ -periódico y $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ donde $\chi$ es el carácter $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ definido por $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ que factores a través de $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$ De hecho $\ker(\chi)$ son las matrices cuya reducción $\bmod 2$ es $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$ .