Producto/división de exponenciales con factoriales como base

Question

Puse esta fórmula en WolframAlpha $$\frac{(26!)^{n+2}}{13!}$$ y se simplificó a $$2^{23n+36}\cdot175^{3n+5}\cdot7429^{n+2}\cdot34749^{2n+3}$$

He intentado resolverlo a mano \begin{align} \frac{(26!)^{n+2}}{13!} & = \frac{(26\cdot25\cdot\ldots\cdot3\cdot2)^{n+2}}{13\cdot12\cdot\ldots\cdot3\cdot2} \\\\ & = (26\cdot25\cdot\ldots\cdot15\cdot14)^{n+2} \cdot (13\cdot12\cdot\ldots\cdot3\cdot2)^{n+1} \\\\ & = (2^{13}\cdot3^5\cdot5^4\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23)^{n+2}\cdot(2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13)^{n+1} \\\\ & = 2^{23n+36}\cdot(3^5)^{2n+3}\cdot(5^2)^{3n+5}\cdot7^{3n+5}\cdot11^{2n+3}\cdot13^{2n+3}\cdot17^{n+2}\cdot19^{n+2}\cdot23^{n+2} \\\\ & = 2^{23n+36}\cdot(5^2\cdot7)^{3n+5}\cdot(17\cdot19\cdot23)^{n+2}\cdot(3^5\cdot11\cdot13)^{2n+3}\\\\ & = 2^{23n+36}\cdot175^{3n+5}\cdot7429^{n+2}\cdot34749^{2n+3}\\ \end{align}

Mi pregunta es si tengo que hacer todo este trabajo (factorización de primos de los factoriales) cada vez que quiera simplificar una expresión de este tipo o hay una forma más rápida utilizando la Matemática Discreta.

Answer 1

Para un enfoque más sistemático, dejemos $v_p(x)$ ser un $p$ -Valoración de la $x$ Entonces, por algunas reglas básicas como $v_p(x^n)=n\cdot v_p(x)$ y $v_p(x/y)=v_p(x)-v_p(y)$ . También podemos utilizar La fórmula de Legendre $v_p(n!)=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$ Así que \begin{align} v_2\left(\frac{(26!)^{n+2}}{13!}\right)&=(n+2)v_2(26!)-v_2(13!)\\ &=(n+2)\left(\left\lfloor \frac{26}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{26}{16} \right\rfloor \right)\\ &\ \ \ -\left(\left\lfloor \frac{13}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{8} \right\rfloor \right)\\ &=(n+2)(13+6+3+1)-(6+3+1)\\ &=23n+36.\\ \end{align} Ahora continúe de manera similar para $p=3,5,7,11,13,17,19,23$ para obtener una factorización completa. A continuación, puedes agrupar los términos de la forma que quieras.