Encuentre el valor propio de P

Question

Sean P,M,N n $\times$ n matrices tales que M y N son no singulares.Si x es un vector propio de P correspondiente al valor propio $\lambda$ entonces un vector propio de N $^{-1}M$ PM $^{-1}N$ correspondiente al valor propio $\lambda$ es

(a) MN $^{-1}$ x (b) M $^{-1}Nx$ (c) NM $^{-1}x$ (d) N $^{-1}Mx$

Una cosa más que me preocupa es P y N $^{-1}MPM^{-1}N$ teniendo mismo valor propio. ¿Qué lo hace necesario?

Mi planteamiento : Lo único que sé es que como M y N son no singulares N $^{-1}M$ y M $^{-1}N$ tendrán el mismo conjunto de valores propios.I No sé si tiene algo que ver con la pregunta.

Answer 1

Sugerencia: deje que $Px=\lambda x$ y $B\equiv APA^{-1}$ para alguna matriz no singular $A$ . Entonces $$ B\color{red}{Ax}=APA^{-1}Ax=\lambda \color{red}{Ax} $$

Answer 2

Como ya se ha dicho $Px=\lambda x$ .

$$N^{-1}MPM^{-1}N=K \rightarrow N^{-1}MP=KN^{-1}M \rightarrow N^{-1}MPx=K(N^{-1}Mx) \rightarrow \lambda (N^{-1}Mx)=K(N^{-1}Mx) $$ y así, $K$ tiene un valor propio $\lambda$ y el vector propio $N^{-1}Mx$