Prueba del Teorema de Van Kampen en el libro de Hatcher

Question

Me cuesta entender la demostración del teorema de Van Kampen en el libro de Hatcher, "Topología Algebraica", que se puede encontrar en la página 44 de https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf .

En particular, no puedo responder a las dos preguntas siguientes:

1) Para demostrar la inyectividad del mapa $\Phi: *_\alpha\ \pi(A_\alpha)\to\pi(X)$ el autor requiere la triple insersión $A_\alpha\cap A_\beta\cap A_\gamma$ para estar conectado a la trayectoria, mientras que otras pruebas de este teorema no lo requieren. ¿Es realmente necesario?

2) ¿Hay alguna forma de visualizar lo que ocurre en la figura de la página 45? Por ejemplo, dice que hay que desplazar los cuadrados de la fila central para evitar la intersección con cuatro conjuntos abiertos. ¿Por qué se consigue así lo que quiere?

Answer 1

1) "...mientras que otras pruebas de este teorema no lo requieren".

Esto parece improbable porque el teorema es falso sin la hipótesis de la triple intersección. Tal vez esté pensando en el enunciado en el que $X$ está cubierto por dos conjuntos abiertos, $U$ y $V$ . En ese caso, las intersecciones triples sólo son

$U \cap U \cap U = U,$

$U \cap U \cap V = U \cap V,$

$U \cap V \cap V = U \cap V,$

$V \cap V \cap V = V,$

que supuso que ya estaban conectados. Así que la condición de triple intersección se satisfizo tautológicamente cuando la cubierta abierta es sólo dos conjuntos abiertos.

2) Imaginas que el borde inferior y el borde superior son dos factorizaciones diferentes del mapa $f$ y todo el cuadrado es una homotopía entre ellos (constante en los lados derecho e izquierdo), donde cada rectángulo se encuentra en algún $U_\alpha$ . Jugamos un poco con este diagrama para que cada punto se encuentre exactamente en tres rectángulos. Como cada uno de estos rectángulos se elige para estar en algún lugar específico $U_\alpha$ es decir, que cada punto se encuentra en alguna intersección triple especificada. Si las líneas verticales no tuvieran "cortes", entonces tendrías puntos que viven en 4 rectángulos diferentes, por lo que la mayoría viven naturalmente en alguna intersección cuádruple.

Ahora se demuestra inductivamente que se puede tomar el borde inferior y moverlo al borde superior cambiando una pequeña parte de la curva a la vez (por ejemplo, cambiando de los bordes inferiores derechos de un rectángulo a los bordes superiores izquierdos), y que al hacerlo, se cambia $f$ por un elemento del grupo que creemos que es el núcleo del mapa $\Phi$ .

Answer 2

1. En la página 44, por encima de la demostración del teorema, hay una explicación sobre la hipótesis de la triple intersección. El teorema no se cumple sin esta suposición. El teorema de van Kampen de Hatcher es más general que el de otros libros, porque otros libros suelen plantear el teorema de van Kampen utilizando sólo dos conjuntos abiertos.

2. El truco de la perturbación se puede conseguir mediante el lema del tubo. El truco es necesario porque la intersección de cuatro $A_\alpha$ no tienen por qué estar conectados por un camino, por lo que utilizamos el truco de hacer que cada vértice se encuentre como máximo en tres rectángulos. Esto se explica en la prueba, en el último párrafo de la página 45.