¿Por qué es $\text{maximize} \frac{1}{\lVert x \rVert}$ equivalente a $\text{minimize}\ \lVert x \rVert^2$ ?

Question

Sé que es posible resolver $\text{minimize}\ \lVert x \rVert^2$ en lugar de $\text{maximize} \frac{1}{\lVert x \rVert}$ ya que el primero se comporta mejor en torno a cero. Sin embargo, estoy buscando un teorema o una regla que me diga que esto está permitido.

Edición: Este es el objetivo de un problema de optimización con restricciones. Yo sólo omitir las restricciones aquí.

Answer 1

Considere una situación similar:

Maximizar $f(x)$ equivale a minimizar $-f(x)$ .

Como Michael Hardy mencionado en el comentario, es fácil ver que como $f(x)$ se hace más grande, $-f(x)$ se hace más pequeño. Lo mismo podemos decir de la reciprocidad:

Maximizar $\displaystyle\frac 1{\Vert x \Vert}$ equivale a minimizar $\Vert x \Vert$ .

Mover, $\Vert x\Vert^2$ es una función creciente de $\Vert x\Vert$ ; cuando $\Vert x\Vert$ aumenta, $\Vert x\Vert^2$ también aumenta; por lo tanto

Minimizar $\Vert x \Vert$ equivale a minimizar $\Vert x \Vert^2$ .

Combinando los resultados anteriores, llegamos a la conclusión

Maximizar $\displaystyle\frac 1{\Vert x \Vert}$ equivale a minimizar $\Vert x \Vert^2$ .

Tienes razón sobre la razón por la que elegimos minimizar $\Vert x \Vert^2$ se comporta mejor en torno a cero, es decir, es diferenciable, y la primera y segunda derivadas son importantes para los problemas de optimización.

Answer 2

Desde entonces, \begin{align*} {\lVert x \rVert}^2 \leq {\lVert y \rVert}^2 \Leftrightarrow& \,{\lVert x \rVert} \leq {\lVert y \rVert}\\ \Leftrightarrow& \, \frac{1}{\lVert y \rVert} \leq \frac{1}{\lVert x \rVert} \end{align*} tenemos que el $x$ para lo cual ${\lVert x \rVert}^2 $ es el mínimo, es el $x$ para lo cual $\frac{1}{\lVert x \rVert}$ es el máximo. (Sólo hay que fijar $x$ para ser así de específico $x$ y varían $y$ sobre todos los valores posibles que puede tomar).