Asumiendo la continuidad de $f$ ¿cómo se demuestra la continuidad uniforme de $f$ asumiendo el límite de $+\infty$ y $-\infty$ es $0$ ?

Question

Asumiendo la continuidad de $f$ ¿cómo se puede demostrar la continuidad uniforme de $f$ asumiendo el límite de $+\infty$ y $-\infty$ es $0$ ?

Nota: $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ .

Buscando pistas, no soluciones. Gracias. Tengo problemas para pasar de que un intervalo cerrado esté acotado, a que toda la función esté acotada.

Answer 1

Pista: Utiliza el hecho de que la continuidad implica continuidad uniforme en cualquier conjunto compacto, encuentra un conjunto adecuado $[-N,N]$ y un conjunto de solapamiento Parcheando $[N-1,\infty),(-\infty,-N+1)$ para obtener una continuidad uniforme superpuesta