Bueno, he encontrado una referencia aquí: http://home.imf.au.dk/marcel/gentop/noter.pdf. Ejercicio 4.4.7 en esas notas se describe un ejemplo, que también es (creo) la que se refiere aquí: Productos de cociente de la topología de la misma como el cociente del producto de la topología. Voy a onda mis manos en un poco - no dude en corregirme si las cosas parecen mal.
Deje $X$ el conjunto de los números racionales positivos, y definir una relación de equivalencia en que mediante la declaración de dos enteros positivos a ser equivalente. Llamar a ese $\sim_{X}$. Deje $Y = \mathbb{Q}$, y definir el trivial relación de equivalencia, por lo que identificar los puntos no. Entonces la demanda es que $X \times Y/\sim$ no es homeomórficos a $X/\sim_{X} \times Y$.
Definir $$ U_{n} = \left\{ (x,y) \in X \times Y \,| \, |x-n| < \textrm{min}(|y - \frac{\sqrt{2}}{n}|,1/2) \right\}.$$ Then set $U = \cup_{n \geq 1} U_{n}$. So each $U_{n}$ is a set around $(n,0)$ in $X \times Y$, where $s$ can be whatever it wants, $x$ is always between $n-1/2$ and $n+1/2$, and if $s$ is close to $\sqrt{2}/n$, then $x$ has to be even closer to $n$. I picture it as sort of an infinitely tall hourglass, where it pinches in near $y = \sqrt{2}/$ n.
Entonces si $q$ es el cociente mapa de $X \times Y$ a $X \times Y/\sim$, $q^{-1}(q(U)) = U$, de modo que $q(U)$ está abierto. Esto es relativamente fácil de ver - $q$ es la única que no es inyectiva en los puntos de la forma $(m,y)$ donde $m$ es un número entero. Pero si $(m,y) \in U$, entonces cada punto de $(n,y) \in U_{n}$, debido a $y - \frac{\sqrt{2}}{n}$ nunca puede ser $0$, por lo que el $x=n$ siempre se permite en $U_{n}$.
Ahora, si $\epsilon > \sqrt{2}/n$, entonces no hay $a <n < b$, de modo que el cilindro $(a,b) \times (-\epsilon, \epsilon) \cap X \times Y$ está contenido en $U_{n}$. Esencialmente, esto es debido a que $(a,b) \times (-\epsilon,\epsilon)$ contiene el "pellizco" de el reloj de arena, que se obtiene de forma arbitraria estrecho, así que no hay intervalo de $(a,b)$ es menor de lo que.
Ahora, nos fijamos en $f(q(U))$. Pretendemos es no abrir porque no contiene barrio de $([1],0)$. Deje $\epsilon >0$ dado y asumir que $\epsilon < n/ \sqrt{2}$. (Sólo se observa una lo suficientemente grande como $n$ hacer que es la verdad). Si $f(q(U)$ estaban abiertos, podríamos encontrar un barrio de $([1],0)$ $f(q(U))$ cuyas $y$-coordenadas de todos los en $(-\epsilon,\epsilon)$. Pero el párrafo anterior, esencialmente, demuestra que no puede suceder.
Intuitivamente, $q(U)$ es abierto porque no importa lo $n$ es, $q(U)$ contiene un barrio de $(n,y)$ - el reloj de arena tiene CIERTA anchura en todas partes, aunque es arbitrariamente pequeño. Pero, si usted fix $y=0$ e intentar poner un barrio que rodea a cada $(n,0)$ todas a la vez (es decir, poner un barrio en torno a $([1],y)$), luego de lo suficientemente grande como $n$, su pequeño barrio se extienden alrededor de la pizca de la reloj de arena para ese $n$.
