La respuesta es sí, a ambas preguntas.
La primera pregunta es la primera. Para cualquier geodésica $n$ -gon $P$ en $M$ es decir, una región simplemente conectada de $M$ cuya frontera está formada por $n$ -arcos geodésicos, definir
$$ \delta(P)= \mbox{sum of the angles of $ T $}-(n-2)\pi. $$
Tenga en cuenta que si $M$ eran planas, entonces el defecto $\delta(P)$ sería $0$ . Esta cantidad tiene una propiedad notable: si $P= P'\cup P''$ , donde $P, P', P''$ son polígonos geodésicos, entonces
$$ \delta(P)=\delta(P')+\delta(P'')-\delta(P'\cap P'') $$
que muestra que $\delta$ se comporta como una medida finitamente aditiva. Se puede extender a una medida contablemente aditiva sobre $M$ y como tal, resulta ser absolutamente continua con respecto a la medida del volumen $dV_g$ definida por la métrica de Riemann $g$ . $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ Así podemos encontrar una función $\rho: M\to \bR$ tal que
$$\delta= \rho dV_g. $$
Más concretamente para cualquier $p\in M$ tenemos
$$\rho(p) =\lim_{P\searrow p} \frac{\delta(P)}{{\rm area}\;(P)}, $$
donde el límite se toma sobre polígonos geodésicos $P$ que se encogen hasta el punto $p$ . De hecho
$$ \rho(p) = K(p). $$
Ahora observa que si tenemos una triangulación geodésica $\newcommand{\eT}{\mathscr{T}}$ $\eT$ de $M$ la fórmula combinatoria de Gauss-Bonnet es la siguiente
$$\sum_{T\in\eT} \delta(T)=2\pi \chi(M). $$
Por otro lado
$$\delta(T) =\int_T \rho(p) dV_g(p), $$
y deducimos
$$ \int_M \rho(p) dV_g(g)=\sum_{T\in \eT}\int_T \rho(p) dV_g(p) =\sum_{T\in\eT} \delta(T)=2\pi \chi(M). $$
Para más detalles ver estas notas para una charla que di a los estudiantes de primer año de posgrado hace un tiempo.
En cuanto a la segunda pregunta, quizás la versión más general de Gauss-Bonnet utiliza el concepto de ciclo normal introducido por Joseph Fu.
Se trata de un tema bastante peliagudo y técnico, que tiene una descripción intuitiva. A grandes rasgos, ésta es la idea.
A cada compacto y se comportó razonablemente subconjunto $S\subset \bR^n$ se puede asociar un $(n-1)$ -corriente de la dimensión $\newcommand{\bN}{\boldsymbol{N}}$ $\bN^S$ que vive en $\Sigma T\bR^n =$ el haz de la esfera unitaria del haz tangente de $\bR^n$ . Piensa en $\bN^S$ como orientado $(n-1)$ -submanifold de dimensiones de $\Sigma T\bR^n$ . El término se comportó razonablemente es bastante generoso porque incluye todos los ejemplos que se pueden producir en tiempo finito (se excluyen los conjuntos tipo Cantor). Por ejemplo, cualquier conjunto compacto y semialgebraico tiene un comportamiento razonable.
¿Cómo es que $\bN^S$ ¿mira? Por ejemplo, si $S$ es un submanifold, entonces $\bN^S$ es el haz de la esfera unitaria del haz normal de $S\hookrightarrow \bR^n$ .
Si $S$ es un dominio compacto de $\bR^n$ con $C^2$ -límite, entonces $\bN^S$ como un subconjunto de $\bR^N\times S^{n-1}$ puede identificarse con la gráfica del mapa de Gauss de $\partial S$ es decir, el mapa
$$\bR^n\supset \partial S\ni p\mapsto \nu(p)\in S^{n-1}, $$
donde $\nu(p)$ denota la unidad exterior normal a $\partial S$ en $p$ .
En general, para cualquier $ S$ , considere el tubo de radio $\newcommand{\ve}{{\varepsilon}}$ alrededor de $S$
$$S_\ve= \bigl\lbrace x\in\bR^n;\;\; {\rm dist}\;(x, S)\leq \ve\;\bigr\rbrace. $$
Para $\ve $ suficientemente pequeño, $S_\ve$ es un dominio compacto con $C^2$ -(aquí estoy improvisando un poco) y podemos definir $\bN^{S_\ve}$ como antes. $\bN^{S_\ve}$ converge de forma adecuada a $\bN^{S}$ como $\ve\to 0$ de modo que para $\ve$ pequeño, $\bN^{S_\ve}$ es una buena aproximación para $\bN^S$ . Intuitivamente, $\bN^S$ es el gráfico de un mapa de Gauss (posiblemente inexistente).
Si $S$ es un poliedro convexo $\bN^S$ es fácil de visualizar. En general $\bN^S$ satisface una notable aditividad
$$\bN^{S_1\cup S_2}= \bN^{S_1}+\bN^{S_2}-\bN^{S_1\cap S_2}. $$
En particular, esto lleva a una descripción bastante detallada para $\bN^S$ para un espacio triangulado $S$ .
¿Dónde está la fórmula de Gauss-Bonnet? Como observó J. Fu, hay algunas canónicas, $O(n)$ -invariante, grado $(n-1)$ formas diferenciales en $\Sigma T\bR^n$ , $\omega_0,\dotsc, \omega_{n-1}$ con muchas propiedades, una de ellas es que para cualquier subconjunto compacto razonable $S$
$$\chi(S)=\int_{\bN^S}\omega_0. $$
La última igualdad contiene como casos especiales las dos fórmulas que has incluido en tu pregunta.
Soy consciente de que las últimas explicaciones pueden resultar opacas a la primera, por lo que sugiero algunas fuentes más fáciles y amigables.
Para el ciclo normal de complejos simpliciales prueba estas notas. Para una exposición de El elegante enfoque de Bernig sobre los ciclos normales prueba estas notas.
Incluso estas exposiciones "amistosas" con una cantidad mínima de tecnicismos podrían ser gravosas, ya que suponen la familiaridad con muchos conceptos.
Por último, pero no por ello menos importante, debería echar un vistazo a estos Notas de la URE sobre este tema . Aunque el ciclo normal no aparece, su sombra está por todas partes en estas notas bellamente escritas.
