Cómo calcular $4 \over {{x^4} + {y^4} + {z^4}}$ de $x + y + z = 1$ y otras condiciones más?

Question

Cómo calcular $$4 \over {{x^4} + {y^4} + {z^4}}$$

de $$x + y + z = 1,$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = 9,$$ $$x^3 + y^3 + z^3 = 1.$$ Respuestas alternativas: A) $1 \over {33}$ , B) $2 \over {33}$ , C) $4 \over {33}$ , D) $16 \over {33}$ , E) $64 \over {33}.$

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Traté de ampliar $(x + y + z)^4$ o ${(x^2 + y^2 + z^2)^2}$ y así aislar $x^4 + y^4 + z^4$ pero se hacen expresiones demasiado largas.

¿Qué producto notable o especial podría aplicarse a este problema?

Answer 1

$$\begin{align} x^2+y^2+z^2&=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx\\ 9&=1-2(xy+yz+zx)\\ xy+yz+zx&=-4\\ (xy+yz+zx)^2&=16\\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)&=16\\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz&=16\qquad\text{since }x+y+z=1\\ \frac{(x^2+y^2+z^2)^2-(x^4+y^4+z^4)}{2}+2xyz&=16\tag{1} \end{align}$$ Por otro lado, a partir de la identidad $$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$ tenemos $$\begin{align} 1-3xyz&=(1)\left(9-(-4)\right)\\ xyz&=-4 \end{align}$$ conectándolo a $(1)$ obtenemos $$\begin{align} \frac{9^2-(x^4+y^4+z^4)}{2}+2(-4)&=16\\ 81-(x^4+y^4+z^4)-16&=32\\ x^4+y^4+z^4&=33 \end{align}$$ Entonces $$\frac{4}{x^4+y^4+z^4}=\boxed{\color{blue}{\frac{4}{33}}}$$