Un morfismo de principal $G$ paquetes sobre el espacio base $B$ es un isomorfismo.

Question

Dejemos que $p_1:E_1\to B$ y $p_2:E_2\to B$ sean dos principales $G$ -fondos. Sea $f:E_1\to E_2$ ser un director $G$ -morfismo de haz de luz. Quiero demostrar que $f$ es un isomorfismo. He leído en algún sitio que basta con demostrar que es biyectiva en las fibras. Sea $x\in B$ y considerar la restricción $f:p_1^{-1}(x)\to p_2^{-1}(x)$ el mapa está bien definido ya que $p_2\circ f=p_1$ . Quiero demostrar que esta restricción es biyectiva.

la inyectabilidad:

Supongamos que $f(e_1)=f(e_1')$ . Dado que la acción de $G$ es transitiva en las fibras, existe $g\in G$ tal que $e_1'=ge_1$ por lo que $f(e_1)=f(ge_1)$ pero el mapa $f$ es por definición $G$ -equivariante por lo que $f(ge_1)=gf(e_1)$ ahora la acción es ser libre entonces $g=1$ por lo que $e_1=e_1'$ .

En cuanto a la subjetividad, creo que se deriva de la transitividad de la acción, pero no veo cómo demostrarla. Y por último quiero saber cómo se pasa de la biyección en las fibras $p_1^{-1}(x)\to p_2^{-1}(x)$ a la biyección en los espacios de agujeros $E_1\to E_2$ . Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $y \in p_2^{-1}(x)$ queremos encontrar algún $y' \in p_1^{-1}(x)$ tal que $f(y') = y$ . Sea $z \in p_1^{-1}(x)$ sea cualquier elemento * entonces $f(z) \in p_2^{-1}(x)$ ; ya que $G$ actúa transitivamente sobre las fibras, existe $g \in G$ tal que $g \cdot f(z) = y$ . Pero $g \cdot f(z) = f(g \cdot z) = y$ , por lo que podemos simplemente establecer $y' = g \cdot z$ .

Así que ahora sabemos que $f$ es un ( $G$ -equivariante) en cada fibra. Para construir una inversa de $f$ , dejemos que $y \in E_2$ , $p_2(y) = x$ Entonces $f_x : p_1^{-1}(x) \to p_2^{-1}(x)$ es una biyección, por lo que se establece $g(y) = f_x^{-1}(y)$ . Esto da un mapa $g : E_2 \to E_1$ y está claro por definición que $g$ es un inverso de $f$ . La cuestión es si $g$ es un mapa de paquetes.

Desde $f$ es $G$ -equivariante, es fácil ver que $g$ también lo es: $f(h \cdot y) = h \cdot f(y) \implies h \cdot y = g(h \cdot f(y))$ (y $f$ es suryente). También satisface $p_1 \circ g = p_2$ (porque $p_2 \circ f = p_1$ ). Queda por demostrar que es continua. Sea $V \subset E_1$ sea un conjunto abierto; WLOG $p_1(V) = U$ es un conjunto abierto trivializador (hay que comprobar que $p_1$ es un mapa abierto, es un ejercicio de perspicacia; básicamente, la proyección estándar $U \times G \to U$ está abierto), por lo que $V \cong U \times G$ . Pero entonces por definición de $G$ , $g^{-1}(V) = p_2^{-1}(U) \cong U \times G$ también, que está abierto, así que $g$ es continua.

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Estoy asumiendo que los mapas de proyección de los haces principales son suryentes. En general, el resultado no es cierto en caso contrario: $\emptyset \to B$ es un director $G$ -y existe un morfismo $\emptyset \to E$ para cualquier otro haz principal, pero no es necesario que sea un isomorfismo...