Homomorfismo $f: \mathbb{Z}_{12} \longrightarrow \mathbb{Z}_{30}$

Question

Supongamos que queremos construir un no -surjetivo homomorfismo $$ f: \mathbb{Z}_{12} \longrightarrow \mathbb{Z}_{30} $$ Desde $\mathbb{Z}_{12}$ es cíclico, $f$ se determina completamente a partir de la imagen de $\overline{1}$ (su generador), $f(\overline{1})$ . Para que el homomorfismo esté bien definido, $f(\overline{1})$ debe ser igual a $\overline{d}$ , donde $d$ es un divisor común de $12$ y $30$ .

Si $f(\overline{1})=\overline{1}$ , $f$ es suryente. Excluyendo este caso, nos queda la posible $f$ s: $$ f(x)=d \cdot x, \quad d\in \{2,3,6\} $$

Answer 1

El único requisito para $f(1)$ que debe cumplirse es $$ 0=f(0)=f(12\cdot 1)=12f(1) $$ Entre los elementos de $\Bbb Z_{30}$ son exactamente los elementos que son múltiplos de $5$ .

Answer 2

(En el segundo estoy presentando, ya hay una buena respuesta aceptada. Pero ya que he empezado una... Esta es una respuesta muy estructural, la intención era dejar claro por qué no hay posibilidad de $1\to 1$ ...)

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Así que estamos trabajando en la categoría de grupos abelianos finitos. (No en la categoría de anillos).

Una forma alternativa de ver la situación es la siguiente. Usando el Teorema del Recordatorio Chino, tenemos isomorfismos: $$ \begin{aligned} \Bbb Z_{12} &\cong \Bbb Z_{2^2}\oplus \Bbb Z_3\ , & 1_{12}&\to1_4\oplus 1_3\\ \Bbb Z_{30} &\cong \Bbb Z_{2}\oplus \Bbb Z_3\oplus \Bbb Z_5\ ,& 1_{30}&\to1_2\oplus 1_3\oplus 1_5\\ \end{aligned} $$ Declarar un mapa de $\Bbb Z_{12}$ a $\Bbb Z_{30}\cong \color{blue}{\Bbb Z_{2}}\oplus \color{green}{\Bbb Z_3}\oplus \color{red}{\Bbb Z_5}$ es lo mismo que declarar tres mapas,

$(\ \Bbb Z_{12}\to\color{blue}{\Bbb Z_{2}},\ \Bbb Z_{12}\to\color{green}{\Bbb Z_3},\ \Bbb Z_{12}\to\color{red}{\Bbb Z_5}\ )$ .

El último mapa del triple es el mapa cero. Por tanto, se excluye la subjetividad. Los otros dos pueden ser elegidos para factorizar a través de las piezas correspondientes de $\Bbb Z_{12}$ . Así que finalmente factorizamos como $$ \Bbb Z_{12}\to \Bbb Z_6 \cong \color{blue}{\Bbb Z_{2}}\oplus \color{green}{\Bbb Z_3} \cong \color{blue}{\Bbb Z_{2}}\oplus \color{green}{\Bbb Z_3} \oplus 0 \to \color{blue}{\Bbb Z_{2}}\oplus \color{green}{\Bbb Z_3}\oplus \color{red}{\Bbb Z_5} \cong\Bbb Z_{30} $$ El primer mapa envía $1$ en algún elemento (sin restricción) en $\Bbb Z_6$ Hay seis posibilidades.