Cómo probar $a_{n}=1!+2!+\cdots+n!$ contiene una infinidad de factores primos

Question

mostrar que $$(n+1)b_{n+1}-b_{n}=n+1,b_{1}=1,a_{n}=n!b_{n}$$,then the sequence $\{a_{n}\}$ contiene una infinidad de factores primos

mi idea:ya que $$(n+1)b_{n+1}-b_{n}=n+1$$ $$\Longrightarrow (n+1)!b_{n+1}-n!b_{n}=(n+1)!$$ así que fácil de encontrar $$a_{n}=n!b_{n}=1!+2!+\cdots+n!$$

entonces, este problema equivalente a probar $a_{n}=1!+2!+\cdots+n!$ contiene una infinidad de factores primos. Pero yo no puedo probarlo, gracias a todos.

Answer 1

La idea clave es la de mostrar que el $a_n$ crece rápido y si $a_n$ tiene sólo un número finito de primos divisores, entonces los exponentes tienen que crecer muy rápido, lo cual es imposible para esta secuencia en particular. Más precisamente, nos vamos a denotar por $d_p(n)$ la máxima potencia de $p$ que $n$ es divisible por.

Ahora, tomar cualquier divisor primo $p.$ Si $d_p(a_n)<d_p((n+1)!),$ $d_p(a_{n+1})=d_p(a_n)$ y, en general, $d_p(a_m)=d_p(a_n)$ todos los $m\ge n.$ por Lo que el poder de la $p$ que $a_k$ es divisible por está limitada por la constante universal y no nos interesa mucho en estos primos tan lejos como crece de la secuencia se refiere.

Ahora, tome el primer $p_i,$ $1\le i\le k$ tal que $d_{p_i}(a_n),$ $n\ge 1$ es ilimitado para cualquier $1\le i\le k$. Entonces, para todos $n\ge 1,$ $d_{p_i}(a_n)\ge d_{p_i}((n+1)!).$ Observar, que si $d_{p_i}(a_n)=d_{p_i}((n+1)!)$ todos los $p_i$ $1!+2!+3!+...+n!> n!$ $a_n$ tiene que ser mucho menor que $(n+1)!$ porque $(n+1)!$ tiene más divisores de $p_1,p_2...p_k$ al $n\to\infty.$ Esto fácilmente puede ser más precisa por la que reclama $(n+1)!\ge 2^{n/2}{p_1^{d_{p_1}((n+1)!)}p_2^{d_{p_2}((n+1)!)}....p_k^{d_{p_k}((n+1)!)}}.$

Así que para algunos de $p_i$s, $d_{p_i}(a_n)$ tiene que ser mucho más grande, a continuación, $d_{p_i}((n+1)!).$ Pero $d_{p_i}(a_n)>d_{p_i}((n+1)!)$ si $d_{p_i}(n!)=d_{p_i}(a_{n-1})$ y podemos repetir los anteriores argumentos con $a_{n-1}$ $n!$ lugar. Esto completa la prueba.