Permítanme explicar mi configuración: Quiero resolver una EDP de segundo orden, lineal y elíptica en algún dominio $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ abierto y delimitado. Discretizo mi dominio utilizando elementos cuadriláteros con malla equidistante $h$ en ambas direcciones, que están alineados con los ejes. Mi espacio FE es $$V_h = \{u:\Omega\to\mathbb{R}|\,u_{|Q} = p(x)q(y),\,\text{ for some } p,q\in\mathcal{P}_1,\,\forall Q\in\mathcal{Q}_h\}$$
En el método que voy a utilizar, estoy "corrigiendo" las funciones de base elegidas para $V_h$ para obtener constantes a trozos. Al estimar el error cometido en esta proyección, obtengo directamente (no se han hecho estimaciones, por lo que no puede resultar en otros términos) algo de la forma $$\|\nabla\partial\varphi_i\|_{L^2(Q)}$$ $\varphi_i$ siendo una de las funciones base para $V_h$ y $Q\in\mathcal{Q}_h$ algún elemento.
El problema es ahora el siguiente: La base estándar del producto tensorial para un cuadrilátero $Q\in\mathcal{Q}_h$ tiene para uno de los nodos locales la forma $$\varphi_i(x,y)= \frac{x}{h}\frac{y}{h}$$ y la segunda derivada de esta función escala como $\tfrac{1}{h^2}$ . Esto básicamente mata mi enfoque donde necesito una buena estimación de la norma anterior, también si $h\to 0$ .
Mi idea: ¿Por qué no escalar las funciones base? Si abandono la suposición de que $\phi_i(v_i) = 1$ donde $v_i$ es el vértice local al que corresponde mi función base, precisamente $$\tilde\varphi_i(x,y)=xy,$$ obviamente esto resuelve el problema actual, ya que la segunda derivada de esta función escala como 1.
Mi pregunta: Dado que los valores de la función base anterior $\tilde\varphi_i$ ahora no están en el rango $[0,1]$ más, pero en $[0,h^2]$ ¿causará esto problemas al resolver el sistema lineal más tarde?
Creo que la matriz acabará siendo singular debido a la precisión de la máquina si $h$ es lo suficientemente pequeño.
¿Qué te parece? Tal vez hayas probado esto, o conozcas alguna referencia donde se aborde esto..
Muchas gracias por todas las respuestas o sugerencias.
Denis
