$\mathbf{Question:}$
Definir $P(n)$ como el menor número natural que contiene exactamente $n$ subcadenas en su representación decimal que son números primos.
Por ejemplo, $P(2) = 13$ porque la cadena "13" contiene los números primos 3 y el propio 13 (y es más pequeño que cualquier otro número con este propiedad, como el 31).
$P(6) = 373$ correspondientes a los números primos 3 (que aparece dos veces), 7, 37, 73 y 373.
Además, tenga en cuenta que las subcadenas que empiezan por 0 no cuentan (por ejemplo: la cadena '103' tiene dos números primos en total, ya que, el propio 103 y el 3 son números primos y '03' no cuenta como número primo).
$\mathbf{Want~to~Prove:}$ $\forall n \in \mathbb{N}$ , $P(n)$ se mantiene,
es decir $\forall n \in \mathbb{N}$ existe un número natural mínimo que contiene exactamente $n$ substratos primos. (La demostración debe hacerse mediante Inducción)
$\mathbf{My Thought:}$ Bueno, escribí un programa que comprueba las cadenas desde P(1) hasta P(27).
Que P(1) es 2; P(2) es 13; P(3) es 23; P(4) es 113; P(5) es 137; P(6) es 373; P(7) es 1137; P(8) es 1733; P(9) es 1373;
P(10) es 11317; P(11) es 11373; P(12) es 13733; P(13) es 31373;
P(14) es 113173; P(15) es 131373; P(16) es 137337;
P(17) es 337397; P(18) es 1113173; P(19) es 1137337;
P(20) es 1373373; P(21) es 2337397; P(22) es 3733797;
P(23) es 11373137; P(24) es 11373379; P(25) es 13733797;
P(26) es 37337397; P(27) es 111373379; ...
El único patrón que he encontrado es que las cadenas de números anteriores sólo pueden contener 1,2,3,7,9
Además, observo que si $d$ es el número de dígitos de cada cadena de números naturales $P(n)$ entonces $n <= \frac{d(d+1)}{2}$ . (pero creo que esto no tiene nada que ver para demostrar $P(n)$ )
Bueno, la otra forma que se me ocurre es que probablemente pueda usar una inducción estructural en la cuerda $P(n)$ . en base a una cadena inicial $s$ que es un primo y seguir añadiendo los caracteres 1,2,3,7, o 9 en la parte posterior de $s$ . pero este throught es todavía al vacío porque no puedo encontrar ninguna base de patrón general en eso también.
Por lo tanto, estoy bastante atascado en cualquiera de la inducción estructural en la cuerda $P(n)$ o la inducción sobre el número $n$ .
Bien, ¿hay alguna pista para esta pregunta, o algún teorema que pueda aplicar para demostrar esta pregunta?
