Diagramas de Penrose Coordenadas nulas

Question

Soy un estudiante de ingeniería interesado en la astrofísica. Empecé a ver un vídeo sobre los diagramas de Penrose ya que quería saber cómo funcionan. Alrededor del minuto 7, el profesor del vídeo dijo que para crear un Diagrama de Penrose las coordenadas "no compactas" (en las que al menos una va contra el infinito) se sustituyen por coordenadas nulas (que siguen siendo no compactas). A continuación, definió una función de coordenadas $u$ como coordenada nula si su $$g(\frac{\partial}{\partial u},\frac{\partial}{\partial u})=0.$$ También señaló que esas coordenadas son "ligeras". Me cuesta entender a qué se refiere. En primer lugar, no estoy familiarizado con su notación: Supongo que $g$ ¿es la divergencia? ¿Pero la divergencia de qué campo? ¿Por qué la luz tiene la propiedad de divergencia igual a cero? Les agradecería que me lo aclararan.

Answer 1

Ampliando mi respuesta: $g$ es el tensor métrico, es decir, el producto escalar; tenemos $g(\vec{U},\vec{V}) = \vec{U} \cdot \vec{V} = g_{\mu\nu}U^\mu V^\nu$ . Así que $u$ al ser una coordenada nula significa que el vector $\partial/\partial u$ es nulo, es decir, el vector $\partial/\partial u$ es un posible vector tangente para un rayo de luz.

Answer 2

Hagamos esto en la relatividad especial 1 + 1. En este caso, el tensor métrico es simple:

$$g_{ab}ds^{a}ds^{b} = - dt^{2} + dx^{2}$$

Esta es la métrica expresada en coordenadas de tiempo y espacio. Si, en cambio, hiciéramos una transformación

$$\begin{align} u &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(t + x\right)\\ v &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(t - x\right) \end{align}$$

Entonces, debería ser bastante evidente que $du$ y $dv$ son nulas. Transformando el tensor métrico, obtenemos:

$$g_{ab}ds^{a}ds^{b} = -2 du\,dv$$

Lo que refleja el hecho de que $du$ y $dv$ son ambos nulos, pero que su producto interior es distinto de cero. Tener la métrica en una forma como ésta simplifica muchas cosas, y este procedimiento puede generalizarse a métricas arbitrarias. Pero lo sencillo es que "coordenadas nulas" sólo significa que estamos haciendo una generalización de esto $(x,t) \rightarrow (u,v)$ transformación.