Aclaración de la notación $\|fw\|$

Question

Esta es la cuestión:

Demuestre que para cada mapa lineal $f:\mathbb R^d \mathbb R^e$ existe $a < \infty$ para que $\|fw\|< a\|w\|$ para cada $w$ en $\mathbb R^d.$

Y mi problema es que $f$ es un mapa así que no debería ser $\|f(w)\|$ en lugar de $\|fw\|$ ? Si no es así, ¿podría explicarme cómo entender esto, por favor?

Gracias.

Answer 1

Cuando se trabaja con mapas lineales, a menudo se omiten los paréntesis, por razones de brevedad. Esto no debería sorprenderte, después de todo también escribimos $\log x$ o $\sin x$ en lugar de $\log(x)$ y $\sin(x)$ .

Answer 2

Un mapa lineal $f$ es continua, y también lo es la función $y\mapsto\|y\|$ . Por lo tanto, la función de valor real $\phi(x):=\|f(x)\|$ está acotado en el conjunto compacto $S^{d-1}\subset{\mathbb R}^d$ (la esfera de la unidad): Hay un $a>0$ tal que $\bigl|\phi(x)\bigr|\leq a$ para todos $x\in S^{d-1}$ . A partir de la linealidad de $f$ se deduce entonces que $\|f(x)\|\leq a\|x\|$ para todos $x\in{\mathbb R}^d$ .