Cálculo de $\int_0^\infty xe^{-\frac{x^2}{2}}\sin(x \xi) \, dx$

Question

Cómo calcular $$\int_0^\infty xe^{-\frac{x^2}{2}}\sin(x \xi) \, dx$$

Intenté integrar por parte pero fue mala idea.

Answer 1

La transformada de Fourier, el desplazamiento del contorno, la ecuación diferencial y otras buenas técnicas funcionan bien aquí. Como ya han sido explicadas por otros usuarios, permítanme mostrar un cálculo de fuerza brutal.

Utilizando la sustitución $u = x^2/2$ ,

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} x \sin(\xi x) e^{-x^2/2} \, dx &= \int_{0}^{\infty} \sin(\xi\sqrt{2u}) e^{-u} \, du \\ &= \int_{0}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \xi^{2n+1} (2u)^{n+\frac{1}{2}} \right) e^{-u} \, du \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\xi^{2n+1} 2^{n+\frac{1}{2}} \Gamma\left(n + \frac{3}{2}\right) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\xi^{2n+1} 2^{n+\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}\prod_{k=1}^{n} \left(k + \frac{1}{2}\right) \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! 2^n}\xi^{2n+1} \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \xi e^{-\xi^2/2}. \end{align*}

En este caso, utilizamos las siguientes identidades

$$ \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} u^{s-1}e^{-u} \, du, \qquad \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. $$

Además, intercambiar la suma y la integral se justifica por el teorema de Fubini junto con la estimación

$$\int_{0}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|\xi|^{2n+1}}{(2n+1)!} (2u)^{n+\frac{1}{2}} \right) e^{-u} \, du = \int_{0}^{\infty} \sinh(|\xi|\sqrt{2u}) e^{-u} \, du < \infty. $$

Answer 2

SUGERENCIA:

Dejemos que $F(\xi)$ sea dada por

$$F(\xi)=\int_0^\infty xe^{-x^2/2}\sin(x\xi)\,dx \tag1$$

Integrando por partes el lado derecho de $(1)$ con $u=\sin(x\xi)$ y $v=-e^{-x^2/2}$ revela

$$\begin{align} F(\xi)&=\xi \int_0^\infty e^{-x^2/2}\cos(x\xi)\,dx\\\\ &=\frac\xi2 \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\cos(x\xi)\,dx\\\\ &=\frac\xi2 \text{Re}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}e^{ix\xi}\,dx\right) \end{align}$$

Ahora, complete el cuadrado, deforme el contorno de vuelta a la línea real usando el Teorema Integral de Cauchy, y evalúe la integral gaussiana resultante.

Answer 3

Método 1

Considere la integral \begin{align} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2} \, x^{2n} \, dx &= \frac{2^{n} \, \Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{2}} \end{align} entonces $$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2} \, \cos(a x) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, e^{-a^{2}/2}.$$ Diferenciación con respecto a $a$ conduce al resultado deseado, es decir, $$\int_{0}^{\infty} x \, e^{-x^2/2} \, \sin(a x) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, a \, e^{-a^{2}/2}$$

Método 2

Integración por partes: $dv = x \, e^{-x^2/2}$ , $u = sin(ax)$ lleva a \begin{align} \int_{0}^{\infty} x \, e^{-x^2/2} \, \sin(a x) \, dx &= \left[ - \sin(ax) \, e^{-x^2/2} \right]_{0}^{\infty} + a \, \int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2} \, \cos(ax) \, dx \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, a \, e^{-a^{2}/2}. \end{align}