¿Es posible explicar intuitivamente por qué la probabilidad/expectativa condicional $(P(A|X)$ o $E[Y|X])$ depende del álgebra sigma sobre la que está condicionada no del valor de la variable aleatoria ?
Formalmente, se debe al teorema de Radon-Nykodin. Pero en Breiman dice que la intuición detrás de esto es que la información relevante contenida en conocer $X(\omega)$ es la información relativa a la ubicación de $\omega$ . ¿Cuál es su significado?
La probabilidad condicional o la expectativa condicional es la mejor aproximación en la norma cuadrada de la variable aleatoria dada $Y$ o función indicadora $I_A$ por una función que tiene conjuntos de niveles en el álgebra sigma proporcionada. O que tenga los mismos conjuntos de niveles que la variable aleatoria dada $X$ . Es decir, si los puntos tienen los mismos valores para $X$ también deben tener los mismos valores para $Y$ .
Por supuesto, la idea de los conjuntos de niveles sólo se aplica realmente a un álgebra sigma finita o a variables aleatorias con sólo un número finito de valores, para el caso general proporciona una intuición adecuada si todo se aproxima mediante funciones escalonadas.
Así, mientras que los valores de la función de los niveles no desempeñan un papel destacado, los conjuntos de puntos con el mismo valor de la función o con valores de la función cercanos (si el espacio de rango se mide en un álgebra de Borel) son la parte importante de la construcción.
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