Prueba de la raíz cuadrada de una suma en Epsilon-Delta

Question

Estoy trabajando en mostrar que $$\lim \limits_{x \to 3} \sqrt{x+1}=2$$ He hecho $\delta 4$ para garantizar que $\sqrt{x+1}0$ pero no sé cómo proceder a partir de ahora. He tratado de jugar con los límites numéricos, pero no puedo encontrar la conexión entre $\lvert x-3 \rvert$ y $\lvert\sqrt{x+1}-2\rvert$ .

Answer 1

Guía:

$|\sqrt{x+1}-2|=\frac{|x-3|}{\sqrt{x+1}+2}$

Si $|x-3|<4$ tenemos $$-1<x<7, $$$$ 0< \sqrt{x+1} < \sqrt{8}$$

$$2 < \sqrt{x+1}+2 < 2+ 2\sqrt{2}$$

$$\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} < \frac12$$

$$|\sqrt{x+1}-2| \leq \frac{|x-3|}2$$