Por qué el modelo de Rutherford del átomo es insatisfactorio: estimaciones cuantitativas

Question

Es bien sabido que el modelo de átomo de Rutherford no era satisfactorio ya que contradecía la ley de conservación de la energía y las ecuaciones de Maxwell. De hecho, según estas últimas, el electrón que se mueve alrededor del núcleo tiene que emitir ondas electromagnéticas y, por tanto, perder energía. Tiene que perder toda su energía y caer sobre el núcleo.

Estoy buscando una referencia con una versión cuantitativa del argumento anterior. Me pregunto cuál es el tiempo estimado cuando el electrón cae sobre el núcleo.

Answer 1

He dado este problema como parte de las tareas en el pasado, así que no me siento cómodo haciendo todo el cálculo por ti, pero realmente no es difícil, así que te animo a que lo calcules tú mismo. Aquí tienes un esquema del argumento:

1. Una carga acelerada irradia radiación electromagnética. Se puede demostrar (ver aquí ) que la potencia total radiada por dicha carga viene dada por la fórmula de Larmor: $$P = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2 e^2}{3 c^3}a^2.$$

2. Se supone que los electrones clásicos tienen trayectorias circulares. Su energía viene dada, por tanto, por $$E = - \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{2 r}$$

3. Ahora bien, como se supone que el electrón se acelera alrededor del núcleo, irradia energía disminuyendo así su energía y "entrando en espiral". Utilizando la expresión anterior para la energía, se puede calcular su tasa de cambio y equipararla a $P$ dado anteriormente, es decir: $$\frac{\text{d}E}{\text{d}t} = P$$

4. Si haces esto, deberías obtener una ecuación diferencial no lineal que implica $\dot{r}$ y $\ddot{r}^2$ . El truco para resolver la ecuación es relacionar $\ddot{r}$ (la aceleración) a la fuerza de Coulomb, es decir $$m\,\ddot{r} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}.$$

5. Si lo has hecho todo bien, la ecuación diferencial no lineal anterior debería reducirse a una más simple que se parece a $$\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \propto \frac{1}{r^2}.$$

6. Puedes resolver esta ecuación fácilmente integrando ambos lados: $$\int_0^T \text{d}t \propto \int_{a_0}^0 r^2 \text{d}r,$$ donde $T$ es el tiempo que quiere encontrar, y $a_0$ es el Radio de Bohr del átomo .

7. Si se introducen todas las constantes (y no hay nada que falle), se debería encontrar que $$T \sim 10^{-11}\text{s},$$ ¡que espero que estés de acuerdo en que se habría notado!