¿Es irreductible el radical de un ideal irreducible?

Question

Originalmente publiqué esto en math.stackexchange.com aquí . Obtuve una respuesta parcial, pero ahora sospecho que la respuesta completa es mucho más difícil de lo que pensaba, así que la publico aquí.

Fijar un anillo conmutativo $R$ . Recordemos que un ideal $I$ de $R$ es irreducible si $I = J_1 \cap J_2$ para los ideales $J_1$ y $J_2$ sólo cuando $I = J_1$ o $I = J_2$ .

Pregunta: Supongamos que $I$ es un ideal irreducible. ¿Debe el radical de $I$ ser un ideal irreducible?

En math.stackchange.com, aprendí que la respuesta es "sí" si $R$ es noetheriano. Mi opinión es que hay un contraejemplo si $R$ no se supone que sea noetheriano, pero no tengo ni idea de cómo construirlo.

Answer 1

Construyo un contraejemplo para tu pregunta en el caso no etereo:

(1) Dejemos que $A = k[[X,Y]]/(XY) = k[[x,y]]$ , donde $k$ sea un campo. Obsérvese que $(0) = (x) \cap (y)$ así que $(0)$ es reducible en $A$ .

(2) Consideramos el casco inyectivo $E(k)$ de $k$ , y establecer $m \in E(k)$ sea el elemento tal que $mA \cong k$ . Obsérvese que todo submódulo no nulo de $E(k)$ contiene $mA$ y $(0)$ es irreducible en $E(k)$

(3) Set $R = A \ltimes E(k)$ sea la indealización. Tenemos que $(0 \ltimes E(k))^2 = 0$ así que $\sqrt{(0)R} = 0 \ltimes E(k)$ es reducible por (1).

(4) Podemos demostrar que para cada elemento no nulo $(a,s)$ de $R$ tenemos $0 \ltimes mA \subseteq (a,s)R$ . Así que lo ideal es $(0)$ es irreducible en $R$ .

EDIT (13/02): Hay que tener en cuenta que este ejemplo es también un contraejemplo para un anillo noetheriano con un ideal es irreducible pero no primario. En efecto, tenemos $(0)$ es irreducible como en el caso anterior. Sin embargo, $$(x,0).(y,m) = (0,0) \in R,$$ y $(x,0)$ y $(y,m)$ no son nilpotentes por lo que $(0)$ no es primario en $R$