Número de días previsto

Question

Si es un buen día (G) hay un 60% de posibilidades de que mañana sea G y un 40% de que sea malo (B). Si es un día B, hay un 30% de posibilidades de que mañana sea G y un 70% de posibilidades de que sea B. Si hoy es B, ¿cuál es el número esperado de días antes de ver otra B?

Lo que creo que es correcto: $E(days)=0.7(1)+0.12(2)+0.072(3)+...$

¿Es este el camino correcto? Si lo es, ¿cómo podría resumirlo? Si no es así, por favor, hágamelo saber.

Answer 1

Cada vez que tenemos un mal día, contamos ese día y dejamos de hacerlo con probabilidad $p$ continuamos al día siguiente. Como hoy es un mal día, para mañana $p = 0.3$ de tener un buen día. A partir de ahí, si tenemos un buen día, la probabilidad de otro buen día es $0.6$ .

$E(X) = 1 + 0.3 \times (1 + 0.6 \times (1 + 0.6 \times(1 + ...) + ..._)$

$E(X) = 1 + 0.3 \times \frac{1}{1-0.6} = 1.75$ (utilizando la suma de series geométricas infinitas $= \frac{a}{1-r} \, ,a = 1, r = 0.6)$ .

Si el día en que se produce el siguiente mal día no debe contarse, reste $1$ .

Answer 2

¿Es esta la forma correcta? : E(días)=0,7(1)+0,12(2)+0,072(3)+...

Sí, lo es.

En otras palabras, la secuencia, expresada en días, es la siguiente

$1 \xrightarrow{\text{with probability}} p=0.7$

$2\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.4$

$3\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.6\times0.4$

$4\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.6\times0.6\times0.4$

$5\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.6\times0.6\times0.6\times0.4$

...

$n \xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.4\times\underbrace{0.6\times0.6\times\dots\times0.6}_{\text{(n-2) times}}$

Así, la expectativa es la siguiente

$$\bbox[5px,border:2px solid red] { \mathbb{E}[X]=0.7+0.3\mathbb{E}[Y]=0.7+0.3\Bigg[1+\frac{1}{0.4}\Bigg]=1.75 \qquad (1) }$$

Donde $Y$ es una distribución geométrica con parámetro de éxito $0.4$ y a partir de $k=2$

---

En cualquier caso, puedes resolver la serie de forma analítica:

Configurar $0.6=p$ su serie se convierte en

$$\mathbb{E}[X]=0.7+\frac{0.3\times0.4}{0.6}\underbrace{\sum_{x=2}^{\infty}x p^{x-1}}_{=S}$$

$$S=\sum_{x=2}^{\infty}\frac{d}{dp}p^x=\frac{d}{dp}\sum_{x=2}^{\infty}p^x=\frac{d}{dp}\frac{p^2}{1-p}=\frac{p(2-p)}{(1-p)^2}\Bigg]_{p=0.6}=5.25$$

Así,

$$\mathbb{E}[X]=0.7+\frac{0.3\times0.4}{0.6}\times 5.25=1.75$$

Como ya se obtuvo en (1).

Answer 3

Si lees bien mi respuesta anterior escribí:

En otras palabras, la secuencia, expresada en días, es la siguiente

$1 \xrightarrow{\text{with probability}} p=0.7$

$2\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.4$

$3\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.6\times0.4$

$4\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.6\times0.6\times0.4$

$5\xrightarrow{\text{with probability}} p=0.3\times0.6\times0.6\times0.6\times0.4$

...

$E(X)=0.7+0.3[2\times0.4+3\times0.4\times0.6+4\times0.4\times0.6^2+5\times0.4\times0.6^3+\dots]$

Las probabilidades entre los [ paréntesis son las de un geométrico: $p(1-p)^x$ donde $p=0.4$ y $(1-p)=0.6$

¿Está claro ahora?

Si el soporte fue correctamente $Y=1,2,3,4,...$ la media habría sido $\frac{1}{0.4}$ . Dado que el soporte es $2,3,4,...$ en cambio... puedes pensar que tu rv es

$$Z=Y+1$$

Así, para la linealidad de la media se puede tener

$$E(Z)=1+E(Y)$$