Dada una secuencia de fibonacci donde $f(n)=f(n-1)+f(n-2) for \space n\ge 2 $ y $f(0)=0,f(1)=1$

Question

Demuestre que existen cuatro enteros no negativos n para los que $f(f(n))=f(n)$

Traté de resolverlo:

$f(f(n-1)+f(n-2))=f(n)$ Así, $f(n-1)+f(n-2)=n$ (Pero estoy confundido en esto) Por favor, dame al menos una pista para resolver este problema.

Para algunos usuarios como @poetasis pongo directamente la instantánea de la pregunta original del libro. Lo siento, esto no es una tarea, es un libro de práctica para las matemáticas.

Para los lectores curiosos y los entusiastas de las matemáticas, creo que debo informarles de que Fibonacci se inventó en la India en el año 450 a.C. y que posteriormente fue identificado y elaborado por Gopala en el siglo XI. Por lo tanto, es un orgullo para mí, que soy indio, hacerles saber que, como muchos otros inventos, Fibonacci tiene sus raíces en la India.

Answer 1

Sugerencia

Puedes calcular los primeros términos:

• $\color{blue}{f(0)=0}$
• $\color{blue}{f(1)=1}$
• $f(2)=1$
• $f(3)=2$
• $f(4)=3$
• $\color{blue}{f(5)=5}$
• $f(6)=8$

Entonces demuestre por inducción que para $k \geq 6$ , usted tiene $$f(k)>k$$ por lo que no hay otras soluciones.

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Para desarrollar los comentarios una vez que haya encontrado el tres soluciones a $f(k)=k$ (es decir $0,1,5$ ). Tienes que resolver: $$f(n) \in \{ 0,1,5 \}$$ que tienen cuatro soluciones ( $\color{green}{0,1,2,5}$ ):

• $f(\color{green}0)=\color{blue}{0}$
• $f(\color{green}1)=\color{blue}{1}$
• $f(\color{green}2)=\color{blue}{1}$
• $f(3)=2$
• $f(4)=3$
• $f(\color{green}5)=\color{blue}{5}$
• $f(6)=8$

y para $n \geq 6$ tienes $f(n) \geq 6$ así que $f(n) \notin \{0,1,5\}$