Para un elemento $x$ en un grupo algebraico $G$ ¿Por qué tenemos $\mathscr{L}(C_G(x))\subset\mathfrak{c}_{\mathfrak{g}}(x)$ ?

Question

Estoy leyendo el libro de Humphreys Grupos algebraicos lineales Tratando de entender el siguiente argumento que se encuentra en la parte superior de la pg. 76.

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico sobre algún campo $k$ con $x\in G$ . Sea $\gamma_x:G\to G$ sea el mapa conmutador que envía $y$ a $yxy^{-1}x^{-1}$ . Obsérvese que la fibra sobre $e\in G$ es exactamente el centralizador de $x$ , $C_G(x)$ . Anteriormente se ha demostrado que el diferencial $(d\gamma_x)_e:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ est $1-\mathrm{Ad}\;x$ , donde $\mathfrak{g}$ es el espacio tangente de Zariski de $G$ en la identidad. Obsérvese entonces que el núcleo de $(d\gamma_x)_e$ est $\mathfrak{c}_{\mathfrak{g}}(x)=\{a\in\mathfrak{g}\mid a=\mathrm{Ad}\;x(a)\}$ .

Entiendo todo esto muy bien. Lo que no entiendo es la siguiente afirmación. Humphreys afirma que de la configuración anterior, podemos concluir que $\mathscr{L}(C_G(x))\subset\mathfrak{c}_{\mathfrak{g}}(x)$ . ¿Cómo podemos concluir esto? No debo tener muy claro cómo pensar en el álgebra de Lie asociada a un grupo algebraico. Las dos definiciones con las que estoy familiarizado son el espacio de derivaciones invariantes a la izquierda de $k[G]$ o el espacio tangente de Zariski de $G$ en $e$ . Ninguno de los dos me ayuda a ver por qué la contención anterior debe ser cierta.

Answer 1

Dejemos que $f:X\to Y$ sea un morfismo de variedades afines. Sea $y\in Y$ y denotar por $X_y=f^{-1}(y)$ la fibra. Es una subvariedad cerrada de $X$ . Sea $x\in X_y$ sea un punto cualquiera y $I=I(X_y)$ . Entonces tenemos $I\subseteq \mathfrak m_x$ . Denote por $T_x:=(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^\ast$ el espacio tangente de Zariski de $x$ y, del mismo modo, definir $T_y$ . Sea $T'_x$ sea el espacio tangente de $X_y$ en $x$ . Tenemos $T'_x\subseteq T_x$ de una manera que explicaré a continuación. El objetivo es demostrar que $T'_x$ como un subespacio de $T_x$ se encuentra en el núcleo del mapa diferencial $T_x\to T_y$ .

El morfismo $f$ induce un homomorfismo de anillo $\phi:\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathcal{O}_{X,x}$ con la propiedad de que $\mathcal O_{X,x}\cdot \phi(\mathfrak m_y)=I\subseteq \mathfrak m_x$ . El mapa dual $\phi^\ast:\mathfrak m_x^\ast \to \mathfrak m_y^\ast$ tiene el núcleo $K:=\{ \ell\in\mathfrak m_x^\ast \mid \ell(I)=0 \}$ porque $0=\phi^\ast(\ell)=\ell\circ\phi$ si y sólo si $I=\operatorname{im}(\phi)\subseteq\ker(\ell)$ . El espacio tangente $T'_x$ de $X_y$ en $x$ es el dual de $(\mathfrak m_x/I)/(\mathfrak m_x/I)^2$ y el mapa dual de $\rho:\mathfrak m_x \to \mathfrak m_x/I$ satisfará $\operatorname{im}(\rho)\subseteq K$ . Por lo tanto, cuando pasamos a cocientes, la inclusión $T'_x\hookrightarrow T_x$ se asignará al núcleo de $T_x\to T_y$ .

Esto es precisamente lo que queríamos.