Encontrar la función original en una suma

Question

Tengo la suma

$$S=\frac 12 \sin x$$

y necesitamos encontrar la función original a esta ecuación sumatoria:

$$\sum_{n=1}^\infty f(x)=S$$

Estoy utilizando el software matemático Maple, pero no puedo resolver esta ecuación allí. ¿Es posible encontrar la (o una) función original $f(x)$ ?

Answer 1

Usted tiene esta fórmula que puedes utilizar: $$ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}. $$ Ahora, por supuesto, sólo hay que poner un $\frac{1}{2}$ al frente. $$\begin{align} \frac{1}{2}\sin(x) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2(2n+1)!}x^{2n+1} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2(2n-1)!}x^{2n-1}. \end{align} $$