Estoy tratando de demostrar que una curva $C\subset S$ es tanto una curva asintótica como una geodésica si y sólo si $C$ es un (segmento de) una línea recta.
$\Rightarrow$ NTS: Si $C$ es a la vez asintótica y geodésica, entonces es una recta.
Por definición, las curvas asintóticas tienen una curvatura normal de cero. Por lo tanto, $k_n = 0$ . La relación de la curvatura normal, geodésica y espacial de $C$ da: $(k_n)^2 + (k_g)^2=k^2$ . Por lo tanto, $\mid k_g \mid = k.$ Una curva es geodésica si y sólo si $k_g = 0$ en cada punto de la curva. Así que $k=0$ . Desde $k=\vert \alpha ''(x) \vert \equiv 0$ , entonces por integración $\alpha(s) = cs + d$ por lo que la curva es un (segmento de) una línea recta.
$\Leftarrow$ NTS: Si $C$ es una recta, entonces es tanto una curva asintótica como una geodésica. Si $C$ es una línea recta, la curvatura de $C$ es cero, $k=0$ pero a partir de la relación $(k_n)^2+(k_g)^2=k^2$ , $(k_n)^2 \geq 0$ y $(k_g)^2 \geq 0$ Así que $k_n$ y $k_g$ deben ser ambos cero.
$\therefore$ $C \subset S$ es una curva asintótica y geodésica si y sólo si $C$ es un (segmento de) una línea recta.
¿Es esto correcto? Gracias
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