Distribución de la suma de variables aleatorias

Question

Dejemos que $X_1, X_2, . . .$ sean variables aleatorias exponenciales independientes con media $1/\mu$ y que $N$ sea una variable aleatoria discreta con $P(N = k) = (1 p)p^{k-1}$ para $k = 1, 2, . . . $ donde $0 p < 1$ (es decir $N$ es una variable aleatoria geométrica desplazada). Demuestre que $S$ definido como $S =\sum_{n=1}^{N}X_n$ se distribuye de nuevo exponencialmente con el parámetro $(1 p)\mu$ .

Mi enfoque:

$S = \sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\mu}e^{-\frac{n}{\mu}}(1-p)p^{k-1}$

¿Cómo se soluciona esto? ¿Es el enfoque correcto para resolver este problema?

Answer 1

No del todo, ya que $S$ será una convolución de funciones de distribución. Esto es mucho más fácil de hacer con funciones características o generadoras de momentos. En concreto, dejemos que

$M_X(t)=E[e^{tX}],$

sea la función generadora de momentos de $X$ . Para una exponencial con parámetro $\lambda$ No es difícil demostrarlo:

$$M(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}, \ t<\lambda.$$

Entonces, por la independencia:

\begin{align*} M_S(t)=\sum_{N\geq 1} M_X(t)^NP(N)&=\sum_{N\geq 1}\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^N(1-p)p^{N-1}\\ &=(1-p)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\frac{1}{1-p\lambda/(\lambda-t)}\\ &=(1-p)\frac{\lambda}{\lambda-t-p\lambda}\\ &=\frac{\nu}{\nu-t}, \end{align*}

donde $\nu:=(1-p)\lambda$ que reconocemos como el MGF de una exponencial con parámetro $\nu$ .

Answer 2

Calcularía la función característica :

$$E[ e^{itS} ] = E\left[ \prod_{i=1^N} e^{itX_1} \right]$$

$$= \sum_{k=1}^\infty (1-p)p^k \prod_{i=1}^k \int_{\mathbb{R}^+} e^{itx} \mu e^{-\mu x} dx$$

$$= \sum_{k=1}^\infty (1-p)p^{k-1} \prod_{i=1}^k \frac{\mu}{\mu-it}$$

$$ =\frac{(1-p)}{p}\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{ \mu p }{\mu - it} \right)^k$$

$$ = \frac{(1-p)}{p} \frac{ 1 }{ 1- \frac{ \mu p }{\mu - it} } - (1-p)$$

$$= \frac{(1-p)}{p} \frac{\mu - it - (\mu - it - \mu p)}{ \mu - it - \mu p}$$

$$ = \frac{(1-p)\mu }{ (1-p) \mu - it}$$

Y ésta es exactamente la función característica po de una variable exponencial con parámetro $(1-p)\mu$

Answer 3

De hecho, tu enfoque está bien si calculas con más cuidado (aunque siempre es preferible el método de la función característica).

Dado $N = n$ , $S$ tiene una distribución Gamma $\Gamma(n, \mu)$ (ver aquí ), es decir, la densidad condicional de $S$ dado $N = n$ es $$f_{S|N = n}(s) = \frac{\mu^n}{\Gamma(n)}s^{n - 1}e^{-\mu s}, \quad s > 0. $$ Por lo tanto, la fdc marginal de $S$ puede calcularse como \begin{align*} & P(S \leq x) = \sum_{n = 1}^\infty P(S \leq x|N = n)P(N = n) \\ = & \sum_{n = 1}^\infty\left(\int_0^x \frac{\mu^n}{\Gamma(n)}s^{n - 1}e^{-\mu s} ds\right) \times (1 - p)p^{n - 1} \\ = & \mu(1 - p) \int_0^x \left(\sum_{n = 1}^\infty\frac{(\mu p s)^{n - 1}}{(n - 1)!}\right)e^{-\mu s}ds \\ = & \mu(1 - p)\int_0^x e^{\mu p s}e^{-\mu s} ds \\ = & \mu(1 - p) \int_0^x e^{-\mu(1 - p)s} ds \\ = & 1 - e^{-\mu(1 - p)x}, \end{align*} que muestra que $S \sim \exp(\mu(1 - p))$ . El intercambio de $\int$ y $\sum$ se deduce del teorema de Fubini.