Primero, aunque creo que es una pregunta divertida, no es realmente una investigación matemática y no estoy seguro de que pertenezca a mathoverflow. (Sabes que algunas personas realmente inteligentes responden a preguntas en math.stackexchange, ¿verdad?) Como se señaló en la respuesta de Robert, uno está investigando la secuencia $x_{n+1} = | \log(x_n)|$ que hace que sentido para todos los $x_0$ fuera de algún conjunto contable. Además, los puntos periódicos serán (seguramente) trascendentales, y será imposible demostrar este hecho (excepto para periodos de longitud $1$ ). Entonces, ¿qué hay que esperar para el número de $+$ y $-$ ¿señales? He aquí una descripción heurística de lo que ocurre, con la advertencia de que no he intentado ser riguroso (para ello, compararía esto con la teoría de la probabilidad de la distribución de Gauss-Kuzmin).
En primer lugar, elija $x_0$ sur $[0,\infty]$ según alguna medida de probabilidad $f_0(x)$ con una distribución de probabilidad acumulada $F_0(x)$ . Sea $f_n(x)$ sea la distribución de $x_n$ . Por definición, $f_n(x)$ debe satisfacer la siguiente ecuación:
$$\int^{b}_{a} f_n(x) dx = \int_{e^a}^{e^b} f_{n-1}(x) dx + \int_{e^{-b}}^{e^{-a}} f_{n-1}(x) dx$$ para todos $b \ge a \ge 0$ . Si $F_n(x) = \int^{x}_{0}f_n(t)dt$ es la función de distribución acumulativa de $x_n$ entonces esta ecuación se convierte en: $$F_n(b) - F_n(a) = F_{n-1}(e^b) - F_{n-1}(e^a) + F_{n-1}(e^{-a}) - F_{n-1}(e^{-b}).$$ Dejar $a = 0$ se obtiene: $$F_n(z) = F_{n-1}(e^z) - F_{n-1}(e^{-z}).$$ Dada una suposición básica sobre $F_0(z)$ la secuencia de funciones $F_n(z)$ converge a la única función creciente $F(z)$ tal que $$F(z) = F(e^z) - F(e^{-z}).$$ La independencia de $F(z)$ en $F_0(z)$ implica que esta función debe describir la función de distribución acumulativa de $x_n$ para $n$ suficientemente grande para casi todos los valores iniciales $x_0$ . Eligiendo funciones aleatorias $F_0(z)$ se puede estimar que $$F(1) \simeq 0.6518\ldots$$ Dado que el signo de la exponencial viene determinado por si $x_n > 1$ o no, esto implica que la relación de $-$ señales a $+$ (para casi todos los valores iniciales, lo que presumiblemente incluye $x_0 = 2$ ) es aproximadamente $1.872$ a $1$ . Esto parece confirmar lo observado experimentalmente. Además, como la función $F(z)$ es estrictamente creciente, se deduce por la ley cero-uno de Kolmogorov que, para casi todos los valores iniciales $x_0$ que hay una longitud arbitraria carreras de $+$ signos, $-$ señales, etc.
Editar : Para que esto sea completamente riguroso, se puede hacer $\mathrm{R}^{+}$ un espacio de medidas compacto dado por la medida especificada por $\mu([a,b]) = F(b) - F(a)$ . La función $T:=|\log(x)|$ (modificado para que $T(1) = 1$ ) es entonces preservador de la medida y (como es relativamente fácil de comprobar) ergódico. Las afirmaciones se derivan entonces del teorema Ergódico de Birkhoff, para elecciones adecuadas de función de prueba $f$ (como la función de paso que es cero para $x < 1$ y uno para $x > 1$ ). (Por cierto, es posible que haya añadido unos cuantos dígitos decimales más arriba de lo que realmente estaba justificado).
