¿Cuál es la forma del teorema del binomio en un anillo general? Es decir, ¿cuál es la expresión para (a+b)^n donde n es un número entero positivo?

Question

¿Cuál es la forma del teorema del binomio en un anillo general? Me refiero a cuál es la expresión para (a+b)^n donde n es un entero positivo

Answer 1

Es la fórmula habitual $\sum \left(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix}\right) a^k b^{n-k}$ si el anillo es conmutativo. Los términos de la forma $\left(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix}\right)$ se interpretan en un anillo general $A$ a través del homomorfismo único $\mathbb{Z}\to A$ .

En un anillo no conmutativo la fórmula es más difícil de escribir de forma concisa: para $n=2$ tenemos $a^2+ab+ba+b^2$ , para $n=3, a^3+a^2b+aba+ba^2+b^2a+bab+ab^2+b^3$ y, de hecho, en general, ahora tenemos $2^n$ términos en lugar de sólo $n+1$ . Así que la "fórmula" es sólo eso $(a+b)^n$ es la suma de todas las palabras de $a$ y $b$ de longitud $n$ lo cual no es de mucha ayuda para nadie, aunque sí hay que preocuparse por este tipo de expresiones, por ejemplo, en el cálculo matricial. En este caso, el hecho de que el $b$ s no se pueden mover todos hacia un lado explica la diferencia de la derivada de Frechet con la que se aprende en el cálculo ordinario.

Answer 2

La fórmula habitual es $$\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}$$ En un anillo conmutativo general con identidad es lo mismo, salvo que se interpreta $\binom{n}{k}$ como el elemento $1+1+1+\cdots+1$ donde hay $\binom{n}{k}$ términos.