¿Los morfismos gonales tienen automorfismos no triviales

Question

Dejemos que $X$ sea una superficie de Riemann compacta y conectada.

Dejemos que $\pi:X\to \mathbf{P}^1$ sea un morfismo gonal, es decir, un morfismo de grado mínimo.

Puede $\pi$ tienen automorfismos no triviales? (Un automorfismo de $\pi$ es un automorfismo de $\sigma:X\to X$ de $X$ tal que $\pi\circ \sigma = \pi$ .)

¿Es esto cierto si $\pi$ es hiperelíptica, es decir, si $\deg \pi = 2$ y $g\neq 1$ ?

Answer 1

Si $\pi$ es una cobertura de Galois (por ejemplo, cuando $X$ es hiperelíptica), entonces el conjunto de los automorfismos de $\pi$ es el grupo de Galois de la cubierta, por lo que no es trivial si $\deg \pi >1$ .