¿Coser dos funciones analíticas?

Question

Dejemos que $f$ sea una función analítica en el disco unitario abierto y sea $g$ sea una función analítica sobre el complemento de su cierre. Supongamos además que las dos funciones tienen un mismo límite continuo en la frontera común de su dominio.

¿Es posible construir una función completa que se asiente con $f$ y $g$ .

Me temo que la pregunta es un poco vaga...

Answer 1

Por la suposición

Supongamos además que las dos funciones tienen un mismo límite continuo en la frontera común de su dominio

la función

$$h(z) = \begin{cases} f(z) &, \lvert z\rvert \leqslant 1 \\ g(z) &, \lvert z\rvert \geqslant 1\end{cases}$$

está bien definida y es continua en todo $\mathbb{C}$ . Además, es holomorfa en $\mathbb{C}\setminus \partial \mathbb{D}$ .

Para un punto $z_0 \in \partial\mathbb{D}$ , considere el disco $U := D_{1/2}(z_0)$ y utilizar el teorema de Morera para encontrar que $h$ es holomorfo en $U$ : Dejemos que $\Delta \subset U$ sea un triángulo cerrado, y $A = \Delta \cap \overline{\mathbb{D}}$ , $B = \Delta \setminus \mathbb{D}$ . Entonces

$$\int_{\partial\Delta} h(z)\,dz = \int_{\partial A} h(z)\,dz + \int_{\partial B} h(z)\,dz$$

ya que las integrales sobre $\Delta\cap \partial\mathbb{D}$ cancelar debido a la orientación opuesta que tiene este arco en $\partial A$ y $\partial B$ [o $\Delta \cap \partial\mathbb{D}$ consiste en uno o dos puntos aislados o está vacío, en cuyos casos esa parte de las integrales es $0$ trivialmente]. Para $\varepsilon > 0$ dejar $A_\varepsilon = \Delta \cap \{ z : \lvert z\rvert \leqslant 1-\varepsilon\}$ y $B_\varepsilon = \Delta \cap \{ z : \lvert z\rvert \geqslant 1+\varepsilon\}$ . Por el teorema integral de Cauchy, tenemos

$$\int_{\partial A_\varepsilon} h(z)\,dz = 0 = \int_{\partial B_\varepsilon} h(z)\,dz.$$

Por la continuidad uniforme de $h$ en $U$ tenemos

$$\int_{\partial A} h(z)\,dz = \lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{\partial A_\varepsilon} h(z)\,dz = 0$$

y

$$\int_{\partial B} h(z)\,dz = \lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{\partial B_\varepsilon} h(z)\,dz = 0,$$

por lo que el teorema de Morera nos dice que $h$ es holomorfo en $U$ .

Por lo tanto, $h$ está completo.

Answer 2

Únase a $f$ y $g_1$ le daría una función completa, que por el principio de identidad tendría que coincidir con cualquier otra unión de $f$ con $g_2$ dicen, dando a entender $g_1=g_2$ . Por lo tanto, si es posible que $f$ Sólo se puede hacer con un $g$ .

Esto implica que se puede hacer si y sólo si $f$ es la restricción de alguna función entera al disco unitario $\mathbb{D}$ y $g$ es $f$ restringido a $\mathbb{C}\backslash\mathbb{D}$ .

EDIT: Me olvidé de tener en cuenta el comportamiento en la frontera $\partial\mathbb{D}$ . Sin embargo, como en la respuesta de Daniel, esto se deduce del teorema de Morea y de la continuidad en la frontera de $f$ y $g$ .

Answer 3

Como ambas funciones son continuas a lo largo de la frontera (en particular, no tienen polos), pueden continuarse analíticamente. Por ejemplo, dejemos que $p$ sea un punto del círculo unitario, y sea $U$ sea una vecindad de $p$ lo suficientemente pequeño como para que ambos $f(z), g(z)$ puede ser continuado analíticamente.

Entonces $f(z) - g(z) = 0$ a lo largo del arco del círculo unitario contenido en $U$ Así que $f(z) - g(z) = 0$ en todas partes en $U$ . En particular, la continuación analítica de $g(z)$ en $U$ sólo está de acuerdo con $f(z)$ . Esto es válido para cualquier $p$ .

Así que, sí la "unión" de las dos funciones será entera.

EDIT: Esta respuesta no es correcta (ver comentarios).