Considere la secuencia ${f_n}$ con $n \ge 2$ definido en $[0,1]$ por

Question

Considere la secuencia ${f_n}$ con $n \ge 2$ definido en $[0,1]$ por

$$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{c} n^2x, &0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 2n - n^2x, &\frac{1}{n} < x \le \frac{2}{n} \\ 0, &\frac{2}{n} < x \le 1 \end{array} \right.$$

a. Dibuje la gráfica de $f_n$ para $n = 2, 3,$ y $4$

b. Demostrar que $lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0$ para cada $x \in [0,1]$

c. Demostrar que $\int_0^1f_n(x)dx = 1$ para todos $n = 2,3,...$

No estoy seguro de cómo trazar un gráfico para a). ¿Tengo razón en tener 3 secciones para $0 \le x \le \frac{1}{n}$ , $\frac{1}{n} < x \le \frac{2}{n}$ y $\frac{2}{n} < x \le 1$ y luego evaluar $f_n(x)$ para $n = 2, 3,$ y $4$ ¿para que haya 3 gráficos dentro de cada sección? Tampoco estoy seguro de cómo hacer b) y c) también. Recién estoy aprendiendo los límites puntuales, así que no estoy familiarizado con ellos todavía, así que cualquier sugerencia/ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Este es el clásico contraejemplo dado para demostrar que las normas $||.||_1$ y $||.||_{\infty}$ no son equivalentes sobre $\mathcal{C}[0,1]$ porque la familia $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \mathcal{C}[0,1]$ y $||f_n||_1=1$ pero no existe ninguna $m>0$ tal que $$m||f_n||_{\infty} \leq ||f_n||_{1}\leq ||f_n||_{\infty}$$ Para demostrar que se supone que esta constante existe, tendríamos que $m\leq \frac{1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}$ pero eso no es posible.

a) La gráfica de las funciones $f_n$ es cero en todas partes excepto en un triángulo isósceles con base $[0,2/n]$ y alta $n$ .

(b) Fácil una vez que has hecho (a). Fijar el punto $x$ y ver qué pasa con el límite.

(c) $\int_0^{1} f_n(x)=(2/n).(n/2)=1$ (Área del triángulo)

Answer 2

A) Obsérvese que para las dos primeras piezas sólo se tiene una única potencia de $x$ Por lo tanto, las gráficas de estas piezas son líneas rectas por lo que, para graficar estas piezas, basta con saber dónde empiezan y dónde terminan.

b) Como $n$ se hace más grande, ¿qué pasa con las tres piezas? ¿Cuál se hace más grande? Si fijas $x$ puede garantizar que finalmente estará en esta pieza (es decir, para un valor suficientemente grande de $n$ )?

c) Una vez dibujadas las gráficas en a), te darás cuenta de que el área entre la gráfica y el $x$ -es bastante fácil de calcular sin necesidad de hacer ninguna integración.