Análisis dimensional en matemáticas

Question

¿Existe una definición sensata y útil de las unidades en matemáticas? En otras palabras, ¿existe una teoría del análisis dimensional para las matemáticas?

En física, una herramienta extremadamente útil es el Teorema de Buckingham Pi . Esto permite realizar estimaciones sorprendentemente precisas que pueden predecir de qué parámetros depende una cantidad. Los ejemplos son numerosos y pueden encontrarse en este breve referencia . Una de estas aplicaciones (páginas 6-7 de la última referencia) puede derivar la relación de dispersión exactamente para ondas cortas en aguas profundas, en términos de tensión superficial, densidad y número de onda. En este caso se obtiene una relación exacta, pero en general se espera que se desvíe por una constante. La cuestión es que esto proporciona una visión rápida de un problema que, de otro modo, sería complejo.

Mi pregunta es: ¿se pueden utilizar técnicas similares en matemáticas?

Me imagino que una aplicación podría ser derivar resultados asintóticos para, digamos, ode's y pde's bajo ciertos supuestos asintóticos para los coeficientes involucrados. Para cualquier tipo de análisis de Fourier, las dimensiones surgen naturalmente de la física si pensamos, por ejemplo, en el tiempo y la frecuencia. Me encuentro utilizando constantemente el análisis dimensional básico sólo como una comprobación de cordura sobre si una cantidad tiene sentido en estas áreas.

Por otra parte, digamos que estoy trabajando en un problema que implica alguna estimación de una función de teoría de números. Si tengo un parámetro libre, ¿puedo averiguar rápidamente el orden de la cantidad que me interesa en función de mis otros parámetros fijos?

Answer 1

Puede que esto vaya algo oblicuamente en la línea que preguntas, pero creo que es lo suficientemente interesante como para que merezca hacerse público.

Mi amigo James Dolan ha estado desarrollando, junto con otras personas, un gran programa en el que grandes partes de la geometría algebraica se interpretan y explican en términos de conceptos de la lógica categórica. Un capítulo básico de este programa es uno que él identifica explícitamente como "análisis dimensional", que en su interpretación es otro término para una teoría general de haces de líneas o de objetos de líneas más generales en categorías simétricas monoidales -- cada haz de líneas puede considerarse una "dimensión", y las cantidades de esa dimensión son secciones de ese haz. Las dimensiones, por supuesto, se multiplican (correspondientemente, los haces de líneas se tensan), y son los objetos de una categoría simétrica monoidal enriquecida en una categoría de espacios vectoriales, que él llama categoría dimensional . Jim propone estudiar los objetos de la geometría algebraica (esquemas, pilas, etc.) en términos de las categorías dimensionales que se les adjuntan, y las representaciones de los mismos en otras categorías simétricas monoidales. Éstas suelen adoptar la forma de "la categoría dimensional adjunta a (algún esquema específico importante estudiado por los geómetras algebraicos) $X$ es la categoría dimensional universal tal que...".

Jim dio una serie de conferencias introductorias muy accesibles y que invitan a la reflexión hace unos años en la UC Riverside. Se puede acceder a los vídeos de esas conferencias (así como a una breve descripción escrita de su programa) aquí . John Baez (uno de los colaboradores de Jim) también ha escrito sobre este programa en el n-Category Café, como por ejemplo aquí y creo que también en la semana 300 de Los hallazgos de la semana.

No es que este programa sea completamente novela, por cualquier medio. Ahora mismo Jim y yo estamos hablando de variedades tóricas, y observo que Vladimir Arnol'd comentó una vez el parentesco espiritual entre el análisis dimensional y las variedades tóricas, en relación con un problema que resolvió de joven, en este artículo . Hubo una breve discusión de Math Overflow sobre esto, aquí .

Answer 2

Considero que el análisis dimensional es una herramienta extremadamente útil y poderosa en las matemáticas puras. Gran parte de las matemáticas, especialmente las EDP y la geometría diferencial, provienen del mundo real o están estrechamente relacionadas con él, así que el hecho de que el análisis dimensional sea relevante no debería ser tan sorprendente. Sin embargo, sí me sorprendió, porque, por lo que sé, los matemáticos puros casi nunca lo discuten de forma sistemática. Cuando se aprende sobre las EDP, se aprende sobre los argumentos de escala para averiguar qué exponentes o normas son apropiados en un entorno determinado (véase el artículo de Tao citado por Knutson). Sin embargo, me parece que al tener en cuenta las "dimensiones" y las "unidades", puedo detectar errores en mis fórmulas, cálculos y desigualdades. A veces, este tipo de análisis incluso te dice inmediatamente cuál es la fórmula o desigualdad correcta. Me gustaría ver una exposición sistemática de cómo utilizar el "análisis dimensional" en áreas de las matemáticas como la geometría diferencial.

Answer 3

Si no sabías que el área de un círculo de radio $r$ es $\pi r^2$ , aún así sabrías que se trata de unos tiempos constantes $r^2$ porque el área debe ser proporcional a los cuadrados de las distancias involucradas. Del mismo modo, si la fórmula de Heron que da el área de un triángulo como $$ A = \frac14 \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} $$ donde $a,b,c$ son las longitudes de los lados, no eran homogéneas de grado 2 en $(a,b,c)$ sabrías que hay un error porque $a,b,c$ son las distancias y $A$ es un área. Y si encuentras que alguna otra expresión en $a,b,c$ es homogénea de grado $0$ , concluyes que es una función trigonométrica de los ángulos mucho antes de conocer los detalles.

¿Podrían considerarse casos del mismo tipo de razonamiento?

(Una cosa interesante sobre la demostración del teorema de Buckingham pi es que es un ejemplo del uso de los espacios vectoriales sobre el campo de los números racionales en la física. De lo contrario, habría adivinado que tal cosa nunca ocurriría).

Answer 4

El análisis dimensional le indica qué normas de los espacios funcionales deben compararse. A menudo, esto da lugar a desigualdades útiles. Un ejemplo básico es la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

$$ \|f\|_{L^q}\leq C_{p,n}\|\nabla f\|_{L^p},\qquad\forall f\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^n), $$

que sólo es válida si $1\le p< n$ y (análisis dimensional) $$\frac1q=\frac1p-\frac1n.$$

Una situación más complicada es la de las desigualdades de Moser, que implican más de dos normas. Entre ellas está la desigualdad de Ladyzhenskaia

$$ \|f\|_{L^4}\leq C\|f\|_{L^2}^{1/2}\|\nabla f\|_{L^2}^{1/2},\qquad\forall f\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^2). $$

Ésta fue fundamental en la prueba de C. Foias y G. Prodi de la regularidad global de las soluciones de Navier-Stokes en dos dimensiones espaciales. Esto me llevó a mencionar que un intento moderno de demostrar el mismo resultado en tres dimensiones espaciales (problema de 1M dólares) consiste en estudiar la ecuación de Navier-Stokes dentro de espacios funcionales que son invariante de escala , de nuevo un concepto que proviene del análisis dimensional.

Por último, se produce una situación aún más avanzada cuando se trata de normas que implican dos variables de distinta naturaleza, normalmente una variable temporal y otra espacial. Lea sobre el Strichartz estima que . Su validez depende de una igualdad entre los parámetros que refleja de nuevo el análisis dimensional. Pero entonces se supone que la transformada de Fourier de las funciones se apoya en una submanifold con curvatura no nula.

Mientras se menciona a Fourier, el análisis dimensional le dice también que si $f\mapsto{\mathcal F}f$ es continua desde $L^p({\mathcal R}^n)$ a $L^q({\mathcal R}^n)$ entonces $\frac1p+\frac1q=1$ . Por desgracia, esta condición necesaria resulta no ser suficiente: también se necesita $1\le p\le 2$ .

Answer 5

En cuanto al uso del análisis dimensional para derivar soluciones asintóticas de EDP, las técnicas de análisis dimensional pueden considerarse sólo una pequeña parte de una cierta teoría bien desarrollada para soluciones asintóticas "autosimilables" con mucho escrito en, por ejemplo, la literatura de mecánica de fluidos. Yo aprendí la mayor parte de esto en cursos de "matemáticas aplicadas", por si sirve de algo. Si alguien sabe dónde se trata el tema de abajo desde un punto de vista de la tecnología superior, me encantaría saberlo.

Por ejemplo, si se trata de resolver una ecuación de la forma

$\partial_t u(x,t)=F[u]$

donde $F$ es algún operador diferencial típicamente no lineal, uno suele creer por razones físicas que una solución del tipo

$u(x,t)=(t-t_0)^\alpha H\left(\frac{x-x_0}{(t-t_0)^\beta}\right)$

(llamada autosimilar, ya que la función $H$ se fija bajo ciertas escalas simultáneas de tiempo y espacio) es probable. Por ejemplo, si el sistema se acerca a algún tipo de singularidad en $x=x_0$ , $t=t_0$ En este caso, las escalas de longitud y tiempo que van a dominar serán sólo las que describen la distancia a la singularidad en el espacio-tiempo.

Utilizando este ansatz de este tipo, a menudo se encuentra que la EDP que originalmente teníamos que resolver se reduce a una EDO para la función $H$ .

Es importante tener en cuenta que el análisis dimensional ingenuo sólo puede conseguir $\alpha$ y $\beta$ ¡en un pequeño subconjunto de estas soluciones asintóticas debido a la existencia de las llamadas auto-similitudes de segundo tipo!

Un libro idiosincrásico pero legible en esta línea que me ha gustado es el de G.I. Barenblatt Escala, autosimilaridad y asintótica intermedia . Por lo que sé, Barenblatt introdujo y destacó esta división de las soluciones asintóticas intermedias "autosimilares" en dos tipos.

En las autosimilitudes del primer tipo, el análisis dimensional ingenuo funciona. Consideremos, por ejemplo, la solución autosimilar $u(x,t)=\frac{u_0}{\sqrt{4\pi t}} e^{-x^2/4Dt}$ a la ecuación de difusión $\partial_t u-D\partial^2_{xx}u=0$ . Podemos derivar esta solución asumiendo que la solución depende sólo de la combinación adimensional $x^2/4Dt$ entonces la EDP puede reducirse a una EDO.

En las autosimilitudes de segundo tipo aparecen escalas no triviales, donde los exponentes en las leyes de potencia resultan estar determinados por problemas de valores propios no lineales. A grandes rasgos, se tiene un continuo de $\alpha$ y $\beta$ valores que funcionan, e imponiendo las condiciones de contorno adecuadas se obtienen los que son relevantes. Creo que se obtienen valores irracionales de $\alpha$ y $\beta$ mediante el uso de algunas escalas de longitud "microscópicas" de cortes de corta distancia / tiempo en su sistema. (Lo siento, completaré los detalles / un ejemplo cuando tenga en mis manos mi copia del libro) .

Para una revisión reciente con muchos ejemplos de mecánica de fluidos, véase este documento de Eggers y Fontelos .

Curiosamente, esto parece ser análogo al análisis dimensional en la teoría cuántica/estadística de campos, donde siempre que una transición de fase es descrita por la "teoría del campo medio" (es decir, un punto fijo RG gaussiano), todos los exponentes críticos que gobiernan el comportamiento cerca de la transición de fase pueden derivarse de los argumentos del análisis dimensional (creo que algunos libros dicen que las dimensiones de escala son iguales a las dimensiones de ingeniería). Cuando el punto fijo de RG que gobierna la transición de fase no es trivial, entonces hay dimensiones anómalas que aparecen esencialmente por el mismo mecanismo anterior. Nigel Goldenfeld destaca este punto de vista en su libro Conferencias sobre transiciones de fase y el grupo de renormalización . También pueden resultar interesantes sus artículos que relacionan ambos temas, por ejemplo L.Y. Chen, N. D. Goldenfeld e Y. Oono. The renormalization group and singular perturbations: multiple-scales, boundary layers and reductive perturbation theory. Phys. Rev. E 54, 376-394 (1996) .