Problema de la distancia de Manhattan con infinitos zigzags

Question

Si giras a la izquierda/derecha cualquier número finito de veces yendo de un punto a otro, será lo mismo que si viajaras $x$ luego giró una vez y viajó $y$ para llegar allí. He oído que incluso un número infinito de vueltas no acortará de repente la distancia a $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Tenemos una situación similar en el problema de la escalera en el que $\pi \ne 4$ porque algo sucede [perdón] en el infinito. Ya no tenemos tamaño para los vectores xy. Tenemos un conjunto de puntos que coinciden con la curva que es una circunferencia.

Aquí tenemos un conjunto de puntos que son $not$ $close$ $to$ pero $on$ la línea que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

En el problema de la escalera, seguimos teniendo un número infinito de vectores que no apuntan en la dirección de la curva excepto en cuatro puntos. ¿En qué se diferencia la distancia de Manhattan de $\pi \ne4$ en el problema de la escalera anterior en el que conocemos la respuesta $\pi$ como un hecho?

Nunca me entero de por qué el problema de la escalera termina como $3.14...$ . ¿Podríamos necesitar nuevos teoremas para explicar ambas cosas? ¿O ambos no serán más que paradojas para siempre? Quizá el problema de la escalera no tenga respuesta. ¿Puede alguien comprobar que siempre resulta $\pi=4$ ? Si es así, puedo aceptar que la distancia de Manhattan no cambie nunca.

Answer 1

El punto final se alcanza sumando un conjunto de vectores. Cada uno de esos vectores se alinea con el $x$ -o el eje $y$ -eje. Ahora utiliza el hecho de que la adición de vectores es conmutativa para reordenar la suma de vectores en una parte que contenga sólo el $x$ -vectores alineados, y la otra parte sólo los $y$ -vectores alineados. A continuación, suma cada una de esas partes por separado. La respuesta debería ser obvia. Y nada cambia si construyes una especie de camino fractal de Manhattan con un número infinito de vectores.

El copo de nieve de Koch es diferente porque en ese caso, para cada iteración de la construcción del fractal, el perímetro aumenta, y no converge a ningún valor finito en el límite.

Answer 2

Si giras a la izquierda/derecha cualquier número finito de veces yendo de un punto a otro, será lo mismo que si viajaras $x$ luego giró una vez y viajó $y$ para llegar allí. He oído que incluso un número infinito de vueltas no acortará de repente la distancia a $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Tenemos una situación similar en el problema de la escalera en el que $\pi \ne 4$ porque algo pasa [perdón] en el infinito. Ya no tenemos el tamaño de los vectores xy. Tenemos un conjunto de puntos que coinciden con la curva que es un círculo....

Parece que la distancia broches de presión a un nuevo valor en el punto mágico del infinito.

Buscando una respuesta extraída de fuentes creíbles y/u oficiales.

Me gustaría una respuesta que considere tanto el Problema de la Escalera como el de Manhattan y me muestre cómo se corresponden o difieren.

Creo que las paradojas consideradas son de estilo griego antiguo y el punto clave aquí es entender qué es una distancia y la longitud de un camino.

El longitud de una curva no es su propiedad "abstracta", sino que tiene una definición concreta a través de las medidas de acuerdo. Uno de los corolarios de esta definición es la paradoja de la escalera, que muestra que las curvas que son arbitrariamente cercanas como establece (con respecto a Distancia de Hausdorff ) pueden tener diferentes longitudes. Pero esto está bien, porque una curva no es sólo un conjunto, sino un conjunto con un recorrido determinado a lo largo de ella. Vemos que la longitud del límite de las curvas de longitud constante puede colapsar, porque en el caso límite perdemos una dimensión para el paseo que aumenta un camino y nos vemos obligados a ir "en línea recta" (es decir, hacia la dirección tangente, infinitesimalmente).

Distancia a Manhattan $d((0,0),(x,y))$ de $(0,0)$ a $(x,y)$ es _definido_ para ser $|x|+|y|$ . Si $P$ es cualquier camino monótono desde $(0,0)$ a $(x,y)$ consistente en un número contable de segmentos alineados con el eje (por cierto, un camino monótono tiene un número contable (es decir, a lo sumo $\aleph_0$ ) tales segmentos, porque sus proyecciones sobre el eje respectivo tienen interiores mutuamente disjuntos) entonces, según una definición de la longitud de una curva en un espacio métrico (véase aquí ), la longitud de $P$ con respecto a la distancia euclidiana estándar en el plano es igual a la longitud de $P$ con respecto a la distancia de Manhattan. Pero esto falla para un caso general. Mientras que la longitud de cualquier camino monótono con respecto a la distancia de Manhattan es la distancia de Manhattan entre sus puntos finales (en este sentido "la distancia de Manhattan nunca cambia"), la longitud euclidiana de una hipotenusa de un triángulo con catetos alineados con el eje de longitudes $x$ y $y$ es $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Answer 3

El perímetro, sorprendentemente, no es continuo.

Esto significa que se pueden encontrar formas muy parecidas entre sí pero que tienen perímetros diferentes. También puedes encontrar una secuencia de formas que se parezcan cada vez más a una forma objetivo, pero que no se acerquen cada vez más en su perímetro.

La razón es que se puede tomar cualquier forma y añadir una cantidad imperceptiblemente pequeña de ondulación en todo el perímetro para cambiar su perímetro sin afectar mucho a su forma. El nuevo objeto puede entrar en contacto con el antiguo en muchos lugares, pero debido a las ondulaciones, sus perímetros no coincidirán. Tal y como funciona el perímetro, no se necesita una gran cantidad de ondulaciones para afectar al perímetro, sino un gran número de ondulaciones muy pequeñas.

Por ejemplo, considere la siguiente secuencia de dibujos lineales. En cada iteración, el número de "protuberancias" se duplica, pero su altura se escala en alguna cantidad (mostrada por la línea de puntos naranja). En las rondas sucesivas, las formas se acercan cada vez más a la línea plana que se muestra en la parte inferior.

Su perímetro, sin embargo, es otra historia. Ten en cuenta que si sumas los segmentos de la línea horizontal en cualquier etapa de este proceso, obtienes la longitud completa de la línea plana en la parte inferior. Así que hay un poco de longitud extra en cada etapa, que es aportada por los componentes verticales. Esa cantidad extra significa mucho: dependiendo de cómo se escale la altura, el perímetro de los objetos podría acercarse a cualquier número .

• Si la altura se reduce a la mitad cada vez, los componentes verticales globales no cambian, por lo que el perímetro de los objetos sigue siendo el mismo en cada etapa: el número de topes se duplica, pero su altura se reduce a la mitad cada vez. Esto es exactamente como el ejemplo de la distancia de Manhattan.
• Si la altura está escalada por un número más grande que una mitad, entonces el perímetro será realmente crecer cada iteración, porque la duplicación de las protuberancias supera la reducción de la altura.
• Si la altura está escalada por un número menos que la mitad, entonces el perímetro se reducirá en cada iteración. Las componentes verticales acabarán desapareciendo, de modo que en el límite ("en el infinito") las dos formas coincidirán en forma y en el perímetro.

Básicamente, es un hecho extraño sobre la longitud que se puede tomar una forma y añadir un montón de pequeños e imperceptibles meneos a lo largo de su perímetro para hacer un objeto que parece básicamente idéntico pero que tiene un perímetro radicalmente diferente. En las matemáticas superiores, esta idea intuitiva se formaliza de varias maneras; por ejemplo, la forma en que, en los problemas inversos, pequeñas cantidades de ruido pueden conducir a diferencias arbitrariamente grandes en el modelo inferido.

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En cuanto a los problemas de la escalera y de Manhattan, ambos son ejemplos de formas que se acercan cada vez más a alguna forma objetivo cuya longitud se conoce. En el caso del círculo, se sabe que la longitud objetivo es la circunferencia $\pi$ . En el caso de la distancia de Manhattan, se sabe que la longitud del objetivo es la longitud de la hipotenusa, $\sqrt{x^2+y^2}$ . Ambos ejemplos utilizan el truco del perímetro para crear una secuencia de objetos que se van pareciendo cada vez más a la forma objetivo, pero en la que los perímetros hacen algo completamente distinto.

No importa cuántas veces toque la curva la forma objetivo, porque -esencialmente- donde no esté tocando la forma, puede contonearse y añadir todo el perímetro extra que quiera. De hecho, tocar en más y más lugares da la oportunidad de añadir más y más desviaciones (imperceptiblemente pequeñas, pero cruciales) entre los lugares de contacto.

Answer 4

Del OP: "Tenemos un conjunto de puntos que coinciden con la curva que es un círculo".

Este no es el caso. Obsérvese que en cada iteración, sólo un número finito de puntos de la forma de la escalera tocan el círculo. Además, en la imagen vinculada si tomamos el círculo centrado en el origen con radio 0,5, y la función de iteración de la escalera subdivide cada intervalo por la mitad, entonces los puntos de la escalera que tocan el círculo tienen todos coordenadas x de la forma $\frac{i}{2^j}$ para algunos enteros $i$ y $j$ . En particular, los puntos con coordenadas x irracionales, por ejemplo: $(\frac{\sqrt{6}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$ -- nunca son tocados por la escalera, sólo se acercan arbitrariamente.

El mismo razonamiento se aplica a la forma de escalera que se acerca a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Siempre habrá puntos en la hipotenusa que no sean tocados por la escalera, por lo que la declaración del OP de que "Aquí tenemos un conjunto de puntos que no están cerca, sino sobre la línea que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo" también es falsa.