Dejemos que $ f: R \to [\frac{1}{2} , 1]$ y $f(x+2) = \frac{1}{2} +\sqrt{f(x) -f(x)^2}$

Question

Problema :

Dejemos que $ f: R \to [\frac{1}{2} , 1]$ y $f(x+2) = \frac{1}{2} +\sqrt{f(x) -f(x)^2}$

Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?

$(a) f(2) = f(7)$

$(b) f(4) = f(10) $

$(c) f(2) =f(4) $

Por favor, sugiera cómo proceder en este problema, será de gran ayuda por favor guía gracias

Answer 1

En primer lugar, observamos que la función que nos lleva de $f(x)$ a $f(x+2)$ , a saber

$$g(x)=\frac 12+\sqrt{x-x^2}$$

es el cuadrante superior derecho de un círculo, y si su dominio es $\left[\frac 12,1\right]$ entonces también lo es su alcance. Podemos ver que $g(x)$ es una función decreciente, una biyección desde $\left[\frac 12,1\right]$ a sí mismo. (Estas afirmaciones se confirman fácilmente si se conocen las secciones cónicas, o también se confirman mediante una gráfica).

Lo importante es que si $f(x)$ está definido, también lo está $f(x+2)$ . También es el sólo restricción de $f$ por lo que podemos elegir cualquier valor para un dominio $[a,a+2)$ y luego los valores de $f$ se definen entonces de forma más o menos periódica para todos los números reales.

La opción (a) no puede ser siempre cierta, porque podemos definir $f(2)$ y $f(3)$ como queramos, entonces $f(3)$ sólo determina $f(3+2)$ y $f(3+2+2)$ . Por lo tanto, no hay relación entre $f(2)$ y $f(7)$ .

Podemos comprobar (c) con la fórmula:

$$f(4)=f(2+2)=\frac 12+\sqrt{f(2)-f(2)^2}$$

Si dejamos que $f(2)=1$ entonces $f(4)=\frac 12+\sqrt{1-1^2}=\frac 12$ por lo que (c) no es siempre cierta.

Ahora vamos a establecer $f(4)=\frac 12$ , entonces obtenemos

$$f(6)=f(4+2)=\frac 12+\sqrt{\frac 12-\left(\frac 12\right)^2}=1$$ $$f(8)=f(6+2)=\frac 12+\sqrt{1-1^2}=\frac 12$$ $$f(10)=f(8+2)=\frac 12+\sqrt{\frac 12-\left(\frac 12\right)^2}=1$$

Así que aquí $f(4)\ne f(10)$ y (b) no siempre es cierto.

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Curiosamente, si hacemos los cálculos veremos que $g(g(x))=x$ . También podemos ver que en el gráfico de $g(x)$ que es simétrica con la línea $y=x$ y por lo tanto es su propia inversa. Así que podemos decir que

$$f(x+4)=f(x+2+2)=g(f(x+2))=g(g(f(x)))=f(x)$$

Por lo que entendemos que $f(2)=f(6)=f(10)$ y $f(4)=f(8)$ . Pero su pregunta no se refiere a ellos.