Estimación de la constante de Poincare para el intervalo unitario

Question

Quiero demostrar que la constante de Poincare para la $W^{1,2}_0(0,1)$ es menor que $1$ . Más concretamente, quiero demostrar que existe una constante $C<1$ tal que para cualquier $f\in C^\infty_c(0,1)$ (suave con soporte compacto) tenemos la desigualdad $$ \lVert f\rVert\leq C\lVert f'\lVert $$ donde $\lVert\cdot\rVert$ es el $L^2$ norma.

La prueba de la desigualdad de Poincare que conozco (usando Cauchy-Schwarz) da una estimación de $C=2$ mientras que el artículo de la Wikipedia parece decir que óptimamente $C\leq \pi^{-1}$ . Estoy buscando una prueba sencilla para este caso especial. No necesito una estimación muy precisa, sólo más pequeña que $1$ y agradecería una pista o una referencia.

Answer 1

La constante que se busca es la siguiente: $$\frac{1}{C^2}=\inf\left\{ \int_0^1 \left(f'\right)^2\, dx\ :\ \int_0^1 (f)^2\, dx=1\right\}. $$ Desde $$\int_0^1 \left(f'\right)^2\, dx = \langle -f'', f\rangle, $$ en realidad se busca el primer valor propio del siguiente problema de Sturm-Liouville: $$\begin{cases} -\frac{d^2 f}{dx^2}=\lambda f \\ \\f(0)=f(1)=0 \end{cases}$$ Este problema se puede integrar explícitamente y se encuentra que el primer valor propio es $\pi^2$ con la función propia $\sin(\pi x)$ (y sus múltiplos escalares). Por lo tanto, $$C=\frac{1}{\pi}<1.$$