Texto de teoría numérica elemental desde una perspectiva categórica

Question

Mi pregunta es algo similar a esta pregunta anterior pero desde una perspectiva ligeramente diferente. ¿Existe algún libro de texto de teoría elemental de números que desarrolle las propiedades de $\mathbb{Z}$ como, por ejemplo, el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos con identidad? Estoy buscando algo que presuponga un conocimiento de la teoría de categorías a nivel de Categorías para el Matemático Trabajador.

Editar: No tenía ni idea de que esta pregunta provocaría la tormenta de críticas que ha provocado. Mi intención no era insinuar que la teoría de los números se aprende mejor desde una perspectiva categórica, o que la teoría de los números debe ser subsumida por la teoría de las categorías. Simplemente me preguntaba qué tipo de cosas interesantes se podrían decir sobre $\mathbb{Z}$ desde la perspectiva de la teoría de las categorías. Por lo tanto, voy a reducir la pregunta: "¿Existen buenas fuentes para conocer las propiedades de un objeto de los números naturales en un topos arbitrario (posiblemente bien señalado y que satisfaga el axioma de elección)?"

Answer 1

Tengo que admitir que esto no es realmente una respuesta, sino más bien una especie de meta-respuesta con algunas observaciones muy generales que espero no aburran a todos los que lean esto; sólo me parece que es necesario para indicar que es bastante erróneo, como ya dice Yemon en los comentarios y estoy muy de acuerdo, plantear una pregunta así si algún libro introduce el número elemental mediante la teoría de categorías.

Las matemáticas se centran en las relaciones no triviales e inesperadas. La Teoría de Categorías no trata realmente de encontrar tales relaciones, sino más bien de la configuración correcta, el lenguaje y color se desarrolla alguna teoría. Este punto de vista no contradice realmente el desarrollo hasta ahora de la teoría de categorías en un área enorme de las matemáticas por derecho propio, llena de teoremas profundos no triviales; en concreto, porque a menudo hay algún trasfondo geométrico o de cualquier otro tipo que es nuestra verdadera motivación. Hay ejemplos omnipresentes (categorías modelo, topoi, pilas, $\infty$ -categorías, ...) que no quiero detallar aquí.

De todos modos, como ya he dicho, las matemáticas empiezan realmente cuando ocurre algo inesperado, que sí no se desprenden de la teoría general de categorías. Por ejemplo, el functor covariante $\hom(X,-)$ es siempre continua, pero ¿cuándo es también cocontinua, o respeta al menos colímites filtrados? Resulta que esto conduce a una condición natural de finitud en $X$ , es decir, llamamos $X$ entonces finitamente presentado. Pero finalmente para llegar a la pregunta, $\mathbb{Z}$ se ve fácilmente que es un objeto inicial en la categoría de anillos, pero ¿qué teoremas de la teoría de categorías se conocen sobre los objetos iniciales? Pues no hay nada que decir, salvo que cada dos objetos iniciales son canónicamente isomorfos, lo cual es sólo una consecuencia trivial de la definición. Así que $\hom(\mathbb{Z},-)$ es fácil de describir, pero ¿qué pasa con el functor contravariante $\hom(-,\mathbb{Z})$ ? ¿Qué sucede cuando se conecta $\mathbb{Z}[x,y,z]/(x^n+y^n=z^n)$ para algunos fijos $n>2$ ? ¿Ayuda la teoría de las categorías a entender esto? Este ejemplo también muestra que aunque el Lema de Yoneda dice que un objeto $X$ de una categoría está determinada por su functor $\hom(X,-)$ no te dice nada sobre la relación de $X$ con otros objetos, por ejemplo cuando sólo invertimos las flechas. En cambio, tenemos que utilizar una encarnación específica de la categoría y sus objetos para derivar algo que no existía sólo por un sinsentido abstracto.

Quizás las preguntas relacionadas sean más interesantes: ¿Qué investigaciones en la teoría elemental de números han conducido a alguna teoría de categorías (por ejemplo, vía categorización), que luego se aplicó también a otras categorías, estableciendo así analogías no triviales? O para la otra dirección, ¿qué conceptos generales se vuelven interesantes en la teoría elemental de los números después de algún proceso de descategorización? Pero en cualquier caso, debe entenderse que hay que digerir la teoría elemental de números antes de eso...

Answer 2

Busqué en Math Reviews libros con Anywhere = categor* AND MSC Primary = 11 y luego miré las 25 coincidencias y sólo uno de ellos era un texto de Teoría de Números elemental, y las categorías involucradas no son del tipo que se busca aquí ("Cada sección del texto concluye con unos 30--40 problemas que se dividen en tres categorías...."). Presento esto como prueba de que lo que pide el OP no existe.

EDIT: En respuesta a la edición de OP, busqué MR para Cualquier lugar = objeto de números naturales Y Cualquier lugar = topos y obtuve 92 coincidencias. No sé si alguno de ellos hace lo que OP quiere. Miré las revisiones de algunos, los que realmente se refirió a los "números naturales" en el título, y sólo vio uno que tenía algo que yo reconocería como Teoría de los Números.

Carol Szasz, Das Objekt "ganze Zahlen'' in einem elementaren Topos, Proceedings of the national conference on algebra (Iaşi, 1984), An. Ştiinţ. Univ. Al. I. Cuza Iaşi Secţ. I a Mat. 31 (1985), suplemento, 88-89, MR0858194 (88a:18006).

Tras definir un objeto numérico integral en términos de morfismos, la revisora (Roswitha Harting) escribe: "Para un objeto numérico integral de $(Z,0,s)$ el autor define entonces de manera obvia los morfismos $a$ (adición) y $m$ (multiplicación), y obtiene que $(Z,a,0)$ es un grupo abeliano".

Pero espera, te oigo decir, eso es integral objeto de número, ¿qué pasa con natural ¿objeto numérico?

"Además el autor insinúa que pueden existir topoi que tengan un objeto número integral pero no un objeto número natural. Para ello hay que mencionar, que en el caso de que el objeto número integral sea decidible, se sigue la existencia de un objeto número natural."

Answer 3

He aquí una respuesta, aunque no estoy seguro de que esté en la línea de lo que buscaba Daniel Miller. Desde hace décadas, Lawvere y Schanuel han encabezado un proyecto sobre lo que llaman "teoría objetiva de los números", que podría considerarse una especie de enfoque estructural de la teoría de los números, en el sentido de que algunos aspectos de la teoría de los números se reinterpretan mediante la descategorización de resultados análogos para cosas como, por ejemplo, el anillo conmutativo inicial que satisface tal o cual identidad, visto como una descategorización de alguna categoría con propiedades apropiadas, como una categoría extensiva equipada con algún isomorfismo que expresa la identidad.

Desgraciadamente, no conozco mucho en prensa sobre esto; he visto a Schanuel dar charlas sobre ello una o dos veces. Aquí está un papel de Schanuel sobre esto (que aún no he leído).

Se puede obtener una idea del tipo de cosas de las que se trata mirando el bonito artículo de Andreas Blass, Siete árboles en uno que se trata de una solución estructural de la ecuación $x^7 = x$ en términos de árboles binarios. La observación inicial es que la especie lineal de los árboles binarios satisface la ecuación del tipo de datos $x = x^2 + 1$ y $x^7 = x$ puede derivarse como una consecuencia formal en la teoría de los aparejos conmutativos; las operaciones utilizadas aquí pueden interpretarse estructuralmente en términos de categorías extensivas con un objeto que satisface la identidad apropiada.

Editar 1: Aquí hay una video de youtube para acompañar a los "siete árboles en uno". Hay varias ilustraciones por ahí con más detalles; aquí es uno de Dan Piponi, que también contribuye a MO con un seudónimo.

Editar 2: Y definitivamente debo mencionar este muy bonito papel sobre la teoría objetiva de los números de Tom Leinster y Marcel Fiore.

Edita 3: Y finalmente (espero que esta sea mi última edición), hay una hermosa artículo en el ncatlab por John Baez y James Dolan, sobre las funciones zeta desde un punto de vista "categorizado" o teórico de las especies.

Answer 4

Me parece que esta pregunta está un poco equivocada. Es un hecho bien conocido que la teoría de las categorías nos da una base igualmente poderosa para las matemáticas. Esto incluye la teoría de los números, por supuesto. ¿Por qué no se podría hacer teoría de números desde esta perspectiva? Si se puede hacer en la teoría de conjuntos, se puede hacer en la teoría de categorías.

Sin embargo, la teoría de las categorías es una visión de las matemáticas a vista de pájaro y, como tal, es más general, por lo que llegar a los detalles de una situación puede ser más fácil o requerir más esfuerzo mental, dependiendo de lo universal que sea la variedad particular de "patrón" que reconozcas en los números enteros. Algunos patrones son más universales en las matemáticas. Por ejemplo, los grupos y los funtores.

Para rematar, me gustaría compartir con ustedes una cita de Recoltes et Somailles que dice algo así como: "observen que el concepto de grupo sólo fue introducido en el siglo pasado por Evariste Galois en un contexto que parecía no tener relación con la geometría. Incluso hoy en día muchos algebristas siguen sin entender que la teoría de Galois es principalmente, en esencia, una visión geométrica."

Grothendieck se refiere aquí a la inocencia infantil necesaria para producir algo verdaderamente original y profundo. Obsérvese que dice que los aspectos combinatorios y computacionales de la geometría se han pasado por alto durante los últimos 2000 años de búsqueda matemática. ¡Y no fue hasta 2000 años después que algo tan simple e infantil como el concepto de grupo se descubrió por fin de esta manera!