Existencia del espectro continuo de un operador lineal autoadjunto posiblemente no limitado en un espacio de Hilbert complejo

Question

Dejemos que $\mathbf{A}$ sea un operador lineal autoadjunto, posiblemente no acotado, en un espacio de Hilbert complejo y separable $\mathcal{H}$ y supongamos que conocemos los elementos de la matriz $\langle j|\mathbf{A}|k\rangle$ de $\mathbf{A}$ sobre una base $\{|n\rangle\}_{n\in\mathbb{N}}$ .

¿Existen teoremas que ayuden al cálculo explícito del espectro de $\mathbf{A}$ utilizando los elementos de la matriz antes mencionados? Si no es así, ¿existen teoremas que den condiciones necesarias y/o suficientes para la existencia del espectro continuo de $\mathbf{A}$ ?

Gracias en andvance.

Answer 1

Supongamos que $\mathcal{H}=L^{2}[0,\pi]$ . Supongamos que $\mathcal{M}$ es un subconjunto contablemente denso de un soporte compacto $C^{\infty}$ funciones en $(0,\pi)$ . Aplicar Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal $\{ f_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ de funciones suaves con soporte compacto en $(0,\pi)$ . Los siguientes operadores $L_{\alpha,\beta}$ son autoadjuntos $$ L_{\alpha,\beta} = -\frac{d^{2}}{dx^{2}}, $$ donde $\mathcal{D}(L_{\alpha,\beta})$ consiste en todas las funciones absolutamente continuas dos veces $f\in\mathcal{H}$ para lo cual $f''\in\mathcal{H}$ y $$ \cos\alpha f(0)+\sin\alpha f'(0) = 0,\\ \cos\beta f(\pi)+\sin\beta f'(\pi)= 0. $$ (Aquí $\alpha,\beta$ son ángulos reales). Todos estos operadores son autoadjuntos, y todos contienen $\{ f_{k} \}$ en sus dominios. Y todos coinciden en estos elementos, es decir, $L_{\alpha,\beta}f_{k}=L_{\alpha',\beta'}f_{k}$ . Estos operadores tienen un espectro discreto, y el espectro es muy diferente al permitir $\alpha$ , $\beta$ variar. Por ejemplo, las condiciones $$ f(0) = 0,\;\; f(\pi)=0 $$ conducen a las funciones propias $\sin(nx)$ con el espectro $\{ 1,2^{2},3^{2},\cdots\}$ . Las condiciones $$ f'(0)=0,\;\; f(\pi)=0 $$ conducen a las funciones propias $\cos((n+1/2)x)$ con el espectro $\{ (1/2)^{2},(3/2)^{2},(5/2)^{2},\cdots\}$ . Cada punto de $[0,\infty)$ está en el espectro de uno de los $L_{\alpha,\beta}$ .

No conozco nada que ayude mucho con el espectro continuo.