Si $\int_{a}^{b}f=0$ y $f \geq 0$ entonces $\{x\in[a,b]:f(x)=0\}$ es un conjunto denso.

Question

Dejemos que $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función Riemann-integrable tal que $f(x)\geq 0$ para todos $x\in[a,b]$ .

Si $\int_{a}^{b}f=0$ entonces $\{x\in[a,b]:f(x)=0\}$ es un conjunto denso.

¿Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Aquí tienes una pista: Supongamos que $A = \{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$ es no denso. Entonces hay un poco de bolsillo $(c,d)$ en el intervalo $[a,b]$ sin ser tocado por $A$ es decir, $f(x) \neq 0$ para todos $x \in (c,d)$ . (¿Por qué? ¿Qué significa la densidad?)

Entonces, como $f(x) \geq 0$ por suposición, y por lo tanto $f(x) > 0$ en $(c,d)$ (ya que no es igual a $0$ en cualquier punto de este intervalo), ¿qué puede decir sobre $\int \limits_{c}^{d} f(x) \,dx$ ? ¿Qué implica esto sobre $\int \limits_{a}^{b} f(x) \,dx$ ?