¿Cómo se resuelven las ecuaciones pesadas de forma organizada y eficaz?

Question

He cometido innumerables pequeños errores en mis exámenes que han perjudicado mi nota. No he podido encontrar una buena guía sobre cómo estructurar la resolución de ecuaciones en papel, así que pensé en preguntar aquí.

He añadido un artículo en el que he resuelto los posibles puntos máximos y mínimos en una ecuación multivariable. El trabajo está en mi opinión muy desorganizado y, por tanto, quería preguntaros cómo lo resolveríais vosotros de forma estructural y organizada. Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes $$y(2x+y^2+y)=0$$ y $$x(x+3y^2+2y)=0$$ entonces tenemos los casos $x=0$ o $y=0$ de $$2x+y^2+y=0$$ y $x+3y^2+2y=0$ obtenemos $$x=-3y^2-2y$$ y con esto $$-6y^2-4y+y^2+y=0$$

Answer 2

Mi sugerencia es no olvidar que estamos trabajando con un sistema de dos ecuaciones: $$ \begin{cases} f_x=0\\ f_y=0 \end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} y(2x+y^2+y)=0\\ x(x+3y^2+2y)=0 \end{cases} $$

Así que..:

1) de la primera ecuación tenemos $y=0$ que, restando en la segunda ecuación da $x=0$ y hemos encontrado una solución del sistema : $(x_1,y_1)=(0,0)$

2) de la segunda ecuación tenemos $x=0$ y sustituyendo en la primera encontramos $y=-1$ o $y=0$ . Así que tenemos otra solución, diferente, del sistema : $(x_2,y_2)=(0,-1)$ (nótese que, a partir de aquí tenemos también la primera solución $(x_1,y_1)$ que acabamos de conocer).

3) si $x\ne0$ y $y \ne 0$ el sistema se convierte: $$\begin{cases} 2x+y^2+y=0\\ x+3y^2+2y=0 \end{cases} $$ que, sustituyendo $x$ de la segunda ecuación en la primera, da una nueva solución: $(x_3,y_3)=(\frac{3}{25},-\frac{3}{5})$