El espacio-tiempo de la relatividad especial se ilustra frecuentemente con su parte espacial reducida a una o dos dimensiones espaciales (con el sector de la luz o el cono, respectivamente). Tomado literalmente, ¿es posible que $2+1$ o $1+1$ ¿dimensiones (planas) del espacio-tiempo para acomodar las ecuaciones de Maxwell y su solución particular: la radiación electromagnética (luz)?
Respuestas
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Daniel Broekman
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Según nuestra mejor comprensión de cómo las ecuaciones de Maxwell se generalizarían a otras dimensiones, entonces sí, lo es. El campo electromagnético está representado por un tensor antisimétrico,
$$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0\end{pmatrix}$$
Para reducirlo a 2+1D, basta con cortar una de las filas y columnas espaciales:
$$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0 & -E_x & -E_y \\ E_x & 0 & -B \\ E_y & B & 0\end{pmatrix}$$
Esto es matemáticamente equivalente a poner esas componentes a cero, por lo que una onda electromagnética en el espacio 2+1D sería equivalente a una onda EM en 3+1D que tiene su campo eléctrico orientado en el $xy$ plano y su campo magnético orientado en el $z$ plano, lo que sí es posible.
Si quisieras hacer un análisis adecuado en el propio espacio 2+1D, podrías ir directamente a la ecuación de onda,
$$\partial_\alpha\partial^\alpha F^{\mu\nu} = 0$$
o, explícitamente,
$$-\frac{\partial^2 F^{\mu\nu}}{\partial^2 t} + \frac{\partial^2 F^{\mu\nu}}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 F^{\mu\nu}}{\partial^2 y} = 0$$
para cada componente, $\nu\in\{t,x,y\}$ .
Alternativamente, se podrían escribir las ecuaciones de Maxwell en el vacío (suponiendo que no hay curvatura del espacio-tiempo) como
$$\begin{align}\partial_\mu F^{\mu\nu} &= 0 & \partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} &= 0\end{align}$$
la primera de las cuales se convierte en el siguiente conjunto de ecuaciones
$$\begin{align} -\frac{\partial E_x}{\partial x} - \frac{\partial E_y}{\partial y} &= 0 & \frac{\partial E_x}{\partial t} - \frac{\partial B}{\partial y} &= 0 & \frac{\partial E_y}{\partial t} + \frac{\partial B}{\partial x} &= 0\end{align}$$
y la segunda se convierte en
$$\frac{\partial B}{\partial t} - \frac{\partial E_x}{\partial y} + \frac{\partial E_y}{\partial x} = 0$$
A continuación, puedes juntarlos y derivar la ecuación de onda para cada uno de los componentes del campo EM.
Cabe mencionar que en 1+1D, el tensor de campo sólo tiene una componente,
$$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0 & -E \\ E & 0\end{pmatrix}$$
y la ecuación solitaria de Maxwell se convierte en
$$\frac{\partial E}{\partial x} = 0$$
Se podría escribir la ecuación de onda como
$$-\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 0$$
lo que hace pensar que las ondas EM existirían. Pero la ecuación de Maxwell en 1+1D te dice que el campo eléctrico es constante en el vacío. Eso no permite la variación espacial que se necesita para crear una onda, por lo que las ondas EM no existen en ese espacio.
También se puede ver esto observando que no se puede tener una onda EM en 3+1D con sólo un campo eléctrico y sin campo magnético.
No, porque la polarización del campo electromagnético debe ser perpendicular a la dirección del movimiento de la luz, y no hay suficientes direcciones para hacer cumplir esta condición. Así que en 1d, una teoría gauge se convierte en no propagadora, no hay fotones, sólo tienes una fuerza de Coulomb de largo alcance que es constante con la distancia.
En la década de 1960, Schwinger analizó la QED en 1+1 d (modelo de Schwinger) y demostró que los electrones se confinan con los positrones para formar mesones de positronio. Un modelo mucho más elaborado fue resuelto por t'Hooft (el modelo de t'Hooft, el modelo no abeliano de Schwinger) que es un modelo de un espectro de mesones confinados.
EDIT: 2+1 Dimensiones
Sí, la luz existe en 2+1 dimensiones, y no hay ninguna diferencia cualitativa importante con las 3+1 dimensiones. Pensé que querías 1+1, donde es interesante.
Jesus
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6
Estoy de acuerdo. La luz no puede existir en el espaciotiempo 2D así como un $\vec{B}$ componente que tiene que ser perpendicular a $\vec{E}$ . Además, la ley de Gauss requiere $$E \propto \frac{q}{r^{D-1}}$$ donde D es el número de dimensiones espaciales. Por lo tanto, está ausente en 2D.
Sin embargo, los espacios-tiempo 2D o 3D pueden tener la velocidad de la luz y ¡invariancia de Lorentz! $$ ds^2= - c^2 dt^2 + dx^2$$
r00fus
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131
La luz puede existir en un espacio de 2 dimensiones, pero no tendría la misma apariencia que la nuestra. Con 1 dimensión menos se convertiría en un punto. Si se añade una dimensión adicional al punto, como todas las dimensiones deberían ser perpendiculares entre sí, se obtendría una onda electromagnética en un espacio tridimensional. Esta onda aparecería intuitivamente extraña debido a que no todos sus componentes existen en nuestro Tiempo/Espacio.
