Cuaterniones, rotaciones y números reales

Question

En realidad no he estudiado formalmente el álgebra a este nivel, pero hace unos años me hablaron de la existencia de los cuaterniones y me parecen realmente geniales. También me gusta cómo los cuaterniones puros son análogos a los productos cruzados en $R^3$ y que me da una forma de hacerlo algebraicamente en lugar de depender de las reglas de la mano.

A lo largo de su uso tengo entendido que multiplicar un elemento por otro, ambos números imaginarios, lo rota de alguna manera para que sea ortogonal a ambos, similar a las rotaciones de $\frac{\pi}{2}$ en el espacio con un eje real y otro imaginario cuando se multiplica por $i$ por lo que es útil para los productos cruzados, ya que lo girará para que sea ortogonal a un plano abarcado por las combinaciones lineales de esos dos vectores [afaik].

Sin embargo, lo que no puedo intuir es por qué para cualquier multiplicación pura de cuaterniones, hay una parte real negativa [el producto escalar] si se supone que corresponde a una rotación dentro de $R^3$ y el espacio de los cuaterniones puros es isomorfo a $R^3$ . De la misma manera, no entiendo por qué $i^2 = j^2 = k^2 = $ Un real negativo.

Answer 1

No intentes interpretar la multiplicación de cuaterniones $q_1 q_2$ como inmediatamente conectada a las rotaciones; es más indirecta.

La operación que realiza una rotación es $q u q^*$ , donde $u$ es un cuaternión vectorial puro (a rotar), y $q$ es un cuaternión unitario $$ q = \cos(\alpha/2) + \sin(\alpha/2) \, n , $$ donde $n$ es un vector unitario que da el eje de rotación, y $\alpha$ es el ángulo de rotación. (Y $q^* = \cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2) \, n$ es el conjugado).

Entonces se puede pensar que un cuaternión general (una constante por un cuaternión unitario) representa una transformación lineal que es una combinación de una rotación y una escala, y la multiplicación de dos cuaterniones es una forma algebraica de calcular la composición de dos transformaciones lineales de este tipo: $$ q_1 \bigl( q_2 u q_2^* \bigr) q_1^* = (q_1 q_2) u (q_1 q_2)^* . $$ Por ejemplo, un cuaternión vectorial puro (unitario) realiza una rotación de 180 grados alrededor del eje correspondiente, pero cuando compones dos rotaciones de 180 grados no obtienes una nueva rotación de 180 grados, a menos que los dos ejes de rotación resulten ser ortogonales. Así que tiene mucho sentido tener una parte escalar (no nula en general) en el producto cuaternión; está relacionada con el ángulo de la rotación compuesta.

Answer 2

Empecemos por considerar los usos de la multiplicación de los números complejos, ya que así es como usted trató de derivar una intuición acerca de que los cuaterniones son adecuados para la rotación en $\mathbb R^3.$

En primer lugar, cabe señalar que para utilizar los números complejos para la rotación, utilizamos la multiplicación, y que aunque $\mathbb C$ es en cierto modo isomorfo a $\mathbb R^2,$ el campo de $\mathbb C$ con la multiplicación es no isomorfo a $\mathbb R^2,$ al menos no en el sentido de que hubiéramos "adivinado" las reglas de la multiplicación compleja con sólo mirar las operaciones obvias a realizar en $\mathbb R^2.$ Ver una respuesta a una pregunta anterior para seguir discutiendo.

Consideremos ahora la función $f(x) = \cos x.$ Se trata de una transformación en $\mathbb R,$ es decir, una función $\mathbb R\to\mathbb R$ ; su entrada y salida son estrictamente unidimensionales. Pero también podemos escribir $f(x) = \Re[e^{ix}],$ es decir, podemos utilizar números complejos (que son bidimensionales en este contexto) para expresar una operación unidimensional. Esto parece añadir mucha complejidad innecesaria (juego de palabras) a algo que realmente sólo necesita una dimensión, no dos, pero los ingenieros eléctricos y los físicos descubren que esta "complejidad innecesaria" en realidad simplifica muchos cálculos.

Se podría pensar en la rotación por cuaterniones de manera similar: como una dimensión extra "innecesaria" añadida al espacio tridimensional de los objetos que quieres rotar, que resulta ser útil para el cálculo. Permitimos que los pasos intermedios del cálculo tengan esta cuarta dimensión, pero al final volveremos a estar en tres dimensiones.

En cuanto a cómo dar sentido al hecho de que $i^2 = j^2 = k^2 = -1,$ necesitamos revisar algunos detalles de cómo los cálculos con cuaterniones se relacionan con la rotación en $\mathbb R^2.$ Refiriéndose a una respuesta a otra pregunta anterior , podemos escribir un cuaternión de la forma $$ q = w + ix + jy + kz,$$ y definir el conjugado del mismo cuaternión como $$ q^* = w - ix - jy - kz,$$ es decir, el conjugado tiene la misma parte real pero partes imaginarias opuestas. También podemos ver las partes imaginarias de un cuaternión como un vector en $\mathbb R^3,$ así que $\mathbb R^3$ es (en este sentido) isomorfo al conjunto de cuaterniones puramente imaginarios.

Entonces, si tomamos un cuaternión puramente imaginario $r$ y un cuaternión unitario $q$ (tal que $qq^* = 1$ ), el producto $$ r' = qrq^* $$ da el mismo resultado $r'$ que obtendríamos si hiciéramos la identificación habitual de $r$ con un vector en $\mathbb R^3$ y lo giró en un ángulo $\theta$ alrededor de un eje $\hat n = (n_x, n_y, n_z),$ donde $$ q = \cos\frac\theta2 + (in_x + jn_y + kn_z)\sin\frac\theta2. $$

Observe que $q$ puede ser puramente imaginario sólo si $\cos\frac\theta2 = 0.$ Un cuaternión puramente imaginario corresponde a una rotación por $\pi$ radianes ( $180$ grados). Si realizas la misma rotación dos veces, vuelves al punto de partida. Así que funciona bien que $i^2 = -1,$ porque si realizamos el " $i$ " dos veces, el resultado es $$r' = i^2 r (i^2)^* = (-1)r(-1) = r,$$ como debería ser.

Answer 3

Que $i^2 = j^2 = k^2 = -1$ está relacionado con que dos rotaciones à $90^\circ$ dan una rotación de $180^\circ$ que refleja (dos) ejes, es decir, multiplica el $x$ , $y$ o $z$ valores con $-1$ .