¿Cuál es la automorphism grupo de los reales y los números complejos y los cuaterniones?

Question

Según Wikipedia el automorphism grupo de la octonions es el grupo excepcional $G_2$. Hay análoga grupos para los números reales, los números complejos y los cuaterniones?

Answer 1

El automorphism grupo de $\mathbb{R}$ es trivial.

El automorphism grupo de $\mathbb{C}$ es extremadamente complicado (al menos si se acepta el axioma de elección) : ver http://www.jstor.org/stable/2689301?seq=1#page_scan_tab_contents por ejemplo.

El automorphism grupo de $\mathbb{H}$$\mathbb{H}^*/\mathbb{R}^*$ : de acuerdo a la Skolem-Noether teorema, cada $\mathbb{R}$-álgebra automorphism de $\mathbb{H}$ es interior, por lo que sólo queda cociente el centro. Pero cada anillo automorphism debe inducir un automorphism del centro, y desde el centro de la $\mathbb{R}$ no tiene no-trivial de automorfismos, cada anillo automorphism es en realidad un $\mathbb{R}$-álgebra automorphism.

Tenga en cuenta que este grupo es realmente isomorfo a $SO(3)$ : la conjugación de la acción es de isometría en el subespacio de puro cuaterniones.

Answer 2

Con respecto a $R,$ deje $h:F \to G$ ser un isomorfismo entre los subcampos $F,G$ $R .$

Si $\forall x\in F\; (x>0\implies \sqrt x\in F),$ $h=id_F.$ Debido a que, por $x,y\in F,$ hemos $$x>y\implies 0\ne h(x)-h(y)=(h(\sqrt {x-y}))^2 \implies h(x)>h(y).$$ And $h|P=id_Q.$ So $\{q\Q:q<x\}=\{q\Q:q<h(x)\}$ for all $x\in F.$ In particular if $F=R$ then $h=id_R$ and $G=R.$