Si $\mathbb{E}[f(X)]=\mathbb{E}[f(Y)]\,\,\,\forall$ continuo $f$ entonces $X, Y$ tienen la misma distribución

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad y $X, Y:\Omega \to [0,1]$ sean variables aleatorias. Demostrar que si

$$\mathbb{E}[f(X)]=\mathbb{E}[f(Y)] \text{ for all continuous }f:[0,1]\to\mathbb{R},$$

entonces $X$ y $Y$ tienen la misma distribución.

Mi primera idea fue demostrar que $P(X\leq \alpha)=P(Y\leq\alpha)$ por cada $\alpha \in [0,1]$ que puede escribirse como $\mathbb{E}[1_{\{X\leq\alpha\}}]=\mathbb{E}[1_{\{Y\leq\alpha\}}]$ . Desde $1_{\{X\leq\alpha\}}$ y $1_{\{Y\leq\alpha\}}$ pueden no ser continuas, he pensado en aproximarlas mediante funciones continuas, pero tengo problemas para formalizarlo (ni siquiera estoy seguro de que sea posible).

¿Hay alguna forma mejor? Gracias.

Answer 1

Para cualquier número entero $n\ge 1$ Consideremos la función \begin{align*} f_n(x) = \begin{cases} 1, & x \le \alpha-\frac{1}{n},\\ -n(x-\alpha), & \alpha-\frac{1}{n} < x \le \alpha,\\ 0, & x > \alpha. \end{cases} \end{align*} Entonces $f_n$ es continua y $f_n(x) \nearrow 1_{x \le \alpha}$ y \begin{align*} E(f_n(X)) \rightarrow P(X \le \alpha). \end{align*}