$Dim(W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3})$ para un determinado $9$ dimensión subespacial $W_{1},W_{2}$ y $W_{3}$ de $\mathbb{R}^{10}.$

Question

Dejemos que $W_{1},W_{2}$ y $W_{3}$ sean tres subespacios disjuntos de $\mathbb{R}^{10}$ de manera que cada uno de $W_{i}$ tiene dimensión $9.$ Dejemos que $W=W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}.$ Entonces podemos concluir que

$1.$ $W$ puede no ser un subespacio de $\mathbb{R}^{10}.$

$2.$ $dim(W)\leq8.$

$3.$ $dim(W)\geq7.$

$4.$ $dim(W)\leq3.$

Es obvio que la primera y la cuarta opción no son ciertas. Pero para manejar la opción segunda y tercera. Por favor, ayuda.

Answer 1

La única manera $\dim W \ge 9$ puede suceder es si $W_1=W_2=W_3$ pero esto contradice la distinción del $W_i$ . Así que el número 2 no tiene por qué ser cierto.

Utilizando la identidad $\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U \cap V)$ para dos subespacios (nota: esto hace no generalizar à la inclusión-exclusión a más de dos subespacios) tenemos $$10=\dim(\mathbb{R}^{10})=\dim(W_1+W_2)=9+9-\dim(W_1 \cap W_2)$$ así que $\dim(W_1 \cap W_2)=8$ donde utilizamos la distinción de $W_1$ y $W_2$ para concluir $W_1+W_2=\mathbb{R}^{10}$ .

Al aplicarlo de nuevo se obtiene $$10 \ge \dim((W_1 \cap W_2) + W_3) = 8 + 9 - \dim(W_1 \cap W_2 \cap W_3)$$ lo que demuestra que el número 3 es cierto.